Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}
2x & + & 5y &=&1\\
5x & + & 3y &=&2\\
\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Mediante la combinación $5\,e_1-2\,e_2 \rightarrow e_2$ obtenemos el sistema equivalente
$$\left\{\begin{matrix}
2x & + & 5y &=&1\\
& & 19y &=&1\\
\end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la segunda ecuación $$y=\dfrac{1}{19}$$ y sustituyendo en la primera $$2x+5\cdot \dfrac{1}{19}=1$$ de donde resulta que $$x=\dfrac{7}{19}$$

$\square$

Ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que $x^4-5x^2+4=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2+4=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2+4=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2 $
    Si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\pm 1$
Con lo cual, la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-2\,,\,-1\,,\,1\,,\,2\}$

$\square$

Intervalos

ENUNCIADO. Expresar de otras formas el siguiente intervalo de la recta de los números reales $$\{x \in \mathbb{R}: |x-3|\le 2\}$$

SOLUCIÓN.
De la definición de valor absoluto:
(1) Si $x-3$ es positivo, $x-3\le 2$, y por tanto, $x \le 5$
(2) Si $x-3$ es negativo, $-(x-3)\le 2$, esto es, $x-3\ge -2$ y por tanto, $x \ge 1$
(3) Si $x-3$ es cero, $0\le 2$, de lo cual no extraemos información.
Luego, de (1) y (2), deducimos que el intervalo de la recta numérica es $[1\,,\,5]\subset \mathbb{R}$

$\square$

Racionalizar

ENUNCIADO. Racionalizar las siguientes expresiones:
a) $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
b) $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{5}$

b)
$\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=$
 $=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\square$

Aproximación por intervalos encajados

ENUNCIADO. Aproximar, mediante sucesivos intervalos ( intervalos encajados ), el número $\sqrt{3}$. Primero, hasta las unidades; a continuación, hasta las décimas; después, hasta las centésimas; y, finalmente, hasta las milésimas.

SOLUCIÓN.
Con ayuda de la calculadora vemos que:
Aproximación a las unidades ( por defecto y por exceso ):
$\sqrt{3}\approx 1,73205$, luego $$1 \le \sqrt{3} \le 2 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_1=(1\,,\,2)\subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las décimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'7 \le \sqrt{3} \le 1'8 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_2=(1'7\,,\,1'8)\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las centésimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'73 \le \sqrt{3} \le 1'74 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_3=(1'73\,,\,1'74)\subset (1'7\,,\,1'8) \subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las milésimas ( por defecto y por exceso ):
$1'732 \le \sqrt{3} \le 1'733 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_4=(1'732\,,\,1'733)\subset (1'73\,,\,1'74) \subset (1'7\,,\,1'8) \subset $
$\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$

$\square$

Obtener la correspondiente fracción generatriz

ENUNCIADO. Escribir en forma fraccionaria estos números:
a) $2,\overline{2}$
b) $0,1\overline{5}$
c) $-7,1$

SOLUCIÓN.
a) $2,\overline{2}\overset{\text{n.d.p.p.}}{=}\dfrac{22-2}{9}=\dfrac{20}{9}$

b) $0,1\overline{5}\overset{\text{n.d.p.m.}}{=}\dfrac{15-1}{90}=\dfrac{14}{90}=\dfrac{7}{45}$

c) a) $-7,1\overset{\text{n.d.e.}}{=}-\dfrac{71}{10}$

Nota ( abreviaciones utilizadas ):
número decimal exacto ( n.d.e. )
número decimal periódico puro ( n.d.p.p. )
número decimal periódico mixto ( n.d.p.m. )

$\square$

Calculo con fracciones

ENUNCIADO. Calcular y simplificar el resultado: $$\dfrac{5}{9}-\left(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)^2$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{5}{9}-\left(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)^2=$
  $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{3}{10} \right)^2$
    $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{9}{100} $
      $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{10}$
        $=\dfrac{5\cdot 20}{180}-\dfrac{1 \cdot 45}{180}+\dfrac{3 \cdot 18}{180}$ ( reduciendo a común denominador, $\text{m.c.m}(9,4,10)=180$ )
          $=\dfrac{100}{180}-\dfrac{45}{180}+\dfrac{54}{180}$
            $=\dfrac{100-45+54}{180}$
              $=\dfrac{109}{180}$
$\square$