Ejercicios resueltos del examen de recuperación de los temas 1,2,3,4,5 y 6 ( 11/01/2016 )

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Plantear ( mediante el álgebra ) y resolver

ENUNCIADO. El perímetro de un rectángulo mide $14$ metros, y el largo es un metro más largo que el ancho. ¿ Cuánto mide el área de dicho rectángulo ?

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ e $y$ al largo y a las longitudes de sendos lados. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}x+y=\dfrac{14}{2}\\y=x+1\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión ( en $x$ de $y$ ) de la segunda ecuación en la primera, $$x+x+1=7$$ y resolviendo esta sencilla ecuación obtenemos $$x=3\;\text{m}$$ luego $$y=3+1=4\;\text{m}$$ Por tanto el área pedida es igual a $$\text{Área}=3\cdot 4=12 \; \text{m}^2$$

resolver

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación de primer grado $$\dfrac{3}{4}\cdot (x-1)-\dfrac{x}{12}=\dfrac{2x-5}{18}$$

SOLUCIÓN. Procedemos a reducir la ecuación, multiplicando por $\text{m.c.m}(14,12,18)=252$ los dos miembros ( término a término ) de la ecuación original; $$252\cdot \dfrac{3}{4}\cdot (x-1)-252\cdot\dfrac{x}{12}=252\cdot\dfrac{2x-5}{18}$$ Simplificando, $$(18\,(x-1)-21x=14\,(2x-5)$$ expandiendo los términos, $$18x-18-21x=28x-70$$ y agrupando términos semejantes, $$31x=52$$ con lo cual obtenemos, como solución, $$x=\dfrac{52}{31}$$

Resolver la siguiente inecuación con una variable

ENUNCIADO. Resolver la inecuación y decir cuál es la solución en la recta numérica de los reales $$6x-2\le 4\cdot(1-x)$$

SOLUCIÓN.
$6x-2\le 4\cdot(1-x)$
    $6x-2\le 4-4x$
      $6x+4x\le 4+2$
        $10x\le 6$
          $5x\le 3$
            $x\le \dfrac{3}{5}$
luego la solución es la semirrecta $\{x\in \mathbb{R}:x\le \dfrac{3}{5}$, esto es $(-\infty\,,\,\dfrac{3}{5}]\subset \mathbb{R}$
$\square$

Resolver el sistema de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}5x&+&2y&=&1\\3x&+&7y&=&3\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. La tenéis en el siguiente [ vídeo ]

Resolver la siguiente ecuación bicuadrada

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$x^4+3x^2-10=0$$

SOLUCIÓN.