Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información: $20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide ...

Enunciado:
Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información:
$20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide:

a) Realizar una tabla para ordenar la información que incluya columnas para: las marcas de clase, las frecuencias absolutas del recuento; las frecuencias absolutas acumuladas del recuento; una columna para facilitar el cálculo de la media aritmética, y una última columna para facilitar el cálculo de la varianza.

b) Representar los histogramas: (1) el histograma de frecuencias absolutas del recuento, incluyendo la poligonal de frecuencias; (2) el histograma de frecuencias absolutas acumuladas, incluyendo la correspondiente poligonal de frecuencias.

c) Determinar la moda. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

d) Calcular la media aritmética. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

e) Calcular la varianza. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

f) Calcular la desviación estándar. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

g) Calcular el coeficiente de variación de Pearson. ¿ Qué información aporta dicho coeficiente ?.

h) Determinar el valor de los cuartiles y representar el diagrma de caja y bigotes. ¿ Qué información aportan los cuartiles y dicho diagrama ?.

i) Determinar el tanto por ciento de valores cumplen la siguiente condición: ser mayores o iguales que $20$ y menores o iguales que $40$

[j] ¿ Qué es un percentil ?

Solución:

apartados a), c) y e) ( la media aritmética es uno de los parámetros de situación y la varianza lo es de dispersión )

apartados b) y primera parte de h)

f)
La desviación estándar ( uno de los parámetros de dispersión, cuya dimensionalidad coincide con la de la característica en estudio $X$ ) se define como la raiz cuadrada de la varianza $s=\sqrt{s^2} \approx 11$

g)
El coeficiente de variación de Pearson ( que expresa la dispersión relativa a la media ) se define como CVP=$\dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{11}{25,5} \approx 43\,\%$. El coeficiente de variación de Pearson se utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de valores de la misma característica.

h)
Hemos determinado ya los cuartiles al dibujar, arriba, el histograma de frecuencias acumuladas con la poligonal de frecuencias y mostrando los resultados en el diagrama de caja, de forma gráfica. Vamos ahora a precisar su valor, también a partir del histograma, pero precisando un poco más: a partir del uso de la semejanza de triángulos que se configuran al trazar la poligonal de frecuencias en el histograma de frecuencias acumuladas:

i)
El número de valores que cumplen la condición del enunciado lo encontramos restando el número de valores menores o iguales que $20$, que es igual a $70$, del número de valores menores o iguales que $70$, que es $190$ [ esta informaicón la encontramos en la la tabla de frecuencias ( columna de las frecuencias acumuladas ) o, también, consultando el histograma de f. acumuladas ]; por tanto el número de valores pedido es $190-70=120$, que de un total de $220$ supone un $55\,\%$ ( redondeando a las unidades ).

[j]
Llamamos percentil o $p$-percentil ( expresado en tanto por ciento ) al valor de la variable estadística tal que la frecuencia relativa acumulada de los valores de $X$ que son menores o iguales que dicho valor es igual a $p\,\%$; ejemplos de percentiles son los cuartiles ( $C_1$, $C_2$ y $C_3$ ) los cuales corresponden a los siguientes $p$-percentiles: $25\,\%$, $50\,\%$ ( por tanto $C_2$ se denomina, también, mediana ) y $75\,\%$, respectivamente ( véase el diagrama de caja y bigotes ).


$\square$

[nota del autor]

Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades: (a) $\binom{x}{2}=45$ (b) $V_{x,2}=12$ (c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$ [d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$ [e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Enunciado:
Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades:

(a) $\binom{x}{2}=45$

(b) $V_{x,2}=12$

(c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$

[d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$

[e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Solución:
(a)
$\binom{x}{2}=45$
  $\dfrac{x!}{(x-2)!\,2!}=45$
    $\dfrac{x\,(x-1)\,(x-2)!}{(x-2)!\,2!}=45$
      $\dfrac{x\,(x-1)}{2!}=45$
        $x\,(x-1)=90$
          $x^2-x-90=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-90) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+19}{2}=10 \\ \\\dfrac{1-19}{2}=-9 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=10$

(b)
$V_{x,2}=12$
  $x\,(x-1)=12$
    $x^2-x-12=0$
      $x^2-x-12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-12) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+9}{2}=5 \\ \\\dfrac{1-9}{2}=-4 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=5$

(c)
$x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$
  $x!=24 \Leftrightarrow x=4$ ya que $4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =24$

[d]
$8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$
  $8\cdot \dfrac{(x+1)!}{2!\,4!}=x!$
    $8\cdot \dfrac{(x+1)\,x!}{2\cdot 4 \cdot 3!}=x!$
      $\dfrac{(x+1)}{6}=1$
        $x+1=6$
          $x=5$

[e]
$3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$
  $3x(x-1)=10\cdot \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2(x-3)!}$
    $3x(x-1)=5(x-1)(x-2)$
      $3x=5(x-2)$
      $2x=10$
        $x=5$

$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente. (a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color (b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Enunciado:
Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente.

(a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color

(b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Solución:

a)
La probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color es
$P\big((B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3)\big)$
y por ser $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ sucesos incompatibles, dicha probabilidad es igual a
$P\big(B_1 \cap B_2 \cap B_3\big) + P\big(N_1 \cap N_2 \cap N_3\big)$
y por el condicionamiento de sucesos ( ver figura ), siguiendo las aristas del árbol y aplicando el principio de multiplicación podemos escribir lo anterior de la forma
$P(B_1)\,P(B_2|B_1)\,P(B_3 | B_1 \cap B_2)+P(N_1)\,P(N_2|N_1)\,P(N_3 | N_1 \cap N_2)$
    $=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{7}$

( Figura: Dibujando el diagrama de árbol podemos esclarecer el cálculo, que se basa en la aplicación de los principios de suma y multiplicación, siguiendo los caminos indicados que llevan a los dos sucesos que aportan probabilidad a la situación planteada. De este modo, incluso podemos hacer el cálculo prescindiendo del formalismo utilizado arriba, si bien dicho formalismo es necesario a estas alturas del curso, en el que las nociones de sucesos compatibles/incompatibles y dependientes/independientes ya han sido estudiados con suficiente detalle. )

Así, pues, la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es $1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$ ( por la propiedad del suceso contrario )

b)
Calculando la esperanza matemática vemos que la ganancia de puntos esperada es
  $(+2)\cdot \dfrac{1}{7}+(-1)\cdot \dfrac{6}{7}=-\dfrac{6}{7}$, por lo que, al ser negativa, debemos aconsejar a quien se le propone el juego que no juegue, pues de hacerlo de manera continuada, a pesar de poder ganar alguna vez, perdería la mayor parte de las veces y, por tanto, se arruinaría.

$\square$

[nota del autor]

Calcúlese de cuántas maneras distintas ...

Enunciado:
Calcúlese de cuántas maneras distintas podemos realizar lo siguiente:

[a] Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $5$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $5$ si la cifra de las unidades de dicho número es o bien $0$ o bien $5$

(b) Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $4$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $4$ si el número formado por sus dos últimas cifras ( de izquierda a derecha ) es un múltiplo de $4$

(c) Formar "palabras" de $10$ bits
    Ayuda:   Un bit es la unidad matemática de información y consiste en tener una celda ocupada con un $1$ o bien con un $0$

(d) Elegir una comisión formada por $3$ representantes, siendo éstos elegidos de entre un grupo de $20$ personas

(e) Construir "palabras" formadas por $4$ caracteres elegidos entre los elementos del siguiente conjunto: $\{\text{a,e,i,o,u};0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

(f) Vestirnos eligiendo un par de zapatos una camiseta y unos vaqueros de entre: tres pares de zapatos, dos vaqueros, y cinco camisetas

(g) Distribuir $4$ bolas indistiguibles en $3$ cajas

[h] Formar banderas de señales que tengan tres franjas verticales coloreadas o bien de negro o bien de blanco.

[i] Formar "palabras" distintas de nueve letras, cada una de las cuales tenga exactamente: $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's.

[j] Ordenar $4$ libros ( distintos ) en un estante en el que solamente caben estos cuatro libros.

Solución:
[a]
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1' y que la de las unidades puede ser o bien '0' o bien '5' ( por la condición de múltiplo de cinco ).

Como podemos elegir la cifra de las unidades de una sóla manera ( con un '1'); la de las centenas de diez ( se supone que podemos repetir cifras ya utilizadas ); la de las decenas de diez maneras distintas, y la de las unidades de dos, por el principio de multiplicación: $n=1 \cdot 10 \cdot 10 * 2= 200$ números distintos.

Nota:   Es claro que podemos hacer el recuento de una manera alternativa: como el primer número mayor que $999$ y múltiplo de $5$ es $1000$ y el último múltiplo de cinco menor que $2001$ es $2000$, el número de múltiplos que hay en este rango es $n=$ ((último múltiplo de cinco) - ( primer múltiplo de cinco))/5, esto es $n= (2000-1000 ) \div 5 = 1000 \div 5 = 200$

(b)
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1'; por otra parte, las dos últimas cifras del ( la de las unidades y la de las decenas ) deben formar números múltiplos de cuatro, entonces, como el primer número múltiplo de cuatro es (0)$4$ y el último $96$, el número de múltiplos de cuatro que forman dichas dos últimas cifras es $(96-4)\div 4=23$. Por otra parte, la cifra de las centenas se puede elegir de $10$ maneras distintas, pues podemos repetir cifras y por tanto se puede escoger cualquier cifra de del conjunto $\{0,1,2,\ldots,9\}$. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de múltiplos de $4$ mayores que $999$ y menores que $2001$ es $n=1\cdot 10 \cdot 23 = 230$.

(c)
Como importa el orden en que se ubican los '0's y los '1's en el conjunto de celdas $\square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $, por el principio de multiplicación, $VR_{2,10}=2^{10}=1024$ "palabras".

(d)
En este caso no importa el orden en que se ubican los elementos en la comisión, luego se trata de un problema de combinaciones; además, hay que tener en cuenta que, lógicamente, no se pueden repetir los elementos ( no se puede repetir una persona ), por tanto $C_{30,3}=\binom{30}{3}=\dfrac{30!}{(30-3)!\,3!}=1140$

(e)
Como importa el orden de ubicación de los $15$ elementos en los cuatro sitios $\square \square \square \square$, el problema de de variaciones, y, al no haber elementos repetidos, de v. ordinarias, luego el número de manera pedido es $V_{15,4}=15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760$

(f)
Por el principio de multiplicación y no habiendo restricciones, el número máximo de maneras de vestirnos ( con la condición de que siempre llevamos exactamente: unos zapatos del mismo par, una camiseta y un vaquero ) es $n=3\cdot 2 \cdot 5 = 30$

(g)
Éste es un problema de combinaciones con repetición, de $4$ objetos ( bolas ) idénticos en $3$ cajas perfectamente identificables, luego el número de ordenaciones posibles es $$\displaystyle \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{4+3-1}{4}=\binom{6}{4}=15$$


[h]
Teniendo en cuenta que importa el orden en que ponemos los colores en las tres franjas verticales y que podemos repetir colores, el problema es de variaciones con repetición, luego la solución pedida es $VR_{2,3}=2^3=8$ banderas distintas.

[i]
Éste es otro caso de permutaciones con elemenotos repetidos; tal y como leemos en el enunciado, en cada ordenación deben aparecer exactamente $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's, luego $$PR_{4+3+2}^{4,3,2}=\dfrac{9!}{4!\,3!\,2!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!\,3!\,4!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6 \cdot 2}=9\cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1260$$

[j]
Teniendo en cuenta que el orden de colocación de los libros es relevante, el problema planteado es de variaciones ordinarias, con el mismo número de elementos que de sitios,luego, en particular es un problema de permutaciones, y, por tanto, su solución es $P_4=4!$, esto es, $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. Podemos, pues, ordenarlos de veinticuatro maneras distintas.

$\square$