Intervalo de incertidumbre del resultado de un cálculo con datos afectados de error

ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes aproximaciones por redondeo simétrico: $a \approx \bar{a}=2,6\,\text{(2 c.s.)}$ y $a \approx \bar{b}=34,14\,\text{(4 c.s.)}$. Exprésense los resultados de los siguientes cálculos con el número de cifras significativas que corresponda a cada uno y determínese una cota razonable del error absoluto asociado a cada uno de ellos:
(1) $4\,a-3b$
(2) $5\,a \, b$

SOLUCIÓN.
Al aproximar por redondeo simétrico una cierta cantidad, y desconociendo el valor exacto $x$ y, por tanto, el error absoluto $E$, podemos tomar media unidad del orden de magnitud de la última cifra significativa como cota razonable de dicho error absoluto, $\Delta \ge E$, que se produce en dicha aproximación; así, en el caso que nos ocupa, $\Delta_{a}=0,05$ y $\Delta_{b}=0,005$, por lo que podemos escribir que $a=2,6\,\pm\,0,05$ y $b=34,14\,\pm\,0,005$

En esta situación ( de desconocimiento de $x$ y, por consiguiente, de $E$ ), una cota razonable del error relativo, $\varepsilon$, la tomaremos razonando de la siguiente manera: el error relativo, $e$, es tal que $e\overset{\text{Def}}{=}\dfrac{E}{|x|}$ luego $e \prec \dfrac{\Delta}{|\bar{x}|-\Delta}$. Así, con los datos del problema: $\varepsilon_a=\dfrac{0,05}{2,6-0,05} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,02=2\,\%$, y, por otra parte, $\varepsilon_b=\dfrac{0,005}{34,14-0,005} \overset{\text{por exceso}}{\approx}0,0002=0,02\,\%$

Hemos justificado en clase que en el caso de que las operaciones aritméticas sean sumas ( o restas ), una cota razonable de error absoluto en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error absoluto de los datos. Y, en caso de que entre las operaciones haya productos ( o cocientes ), una cota razonable de error relativo en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos.

Al realizar los cálculos pedidos y presentar los resultados con las cifras significativas correctas encontramos:   $4\,a-3b \approx -92,02$ ( limitando el número de cifras decimales significativas (c.s.) a dos, puesto, que al realizar sumas/restas, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de cifras decimales significativas )
  $5\,a\,b = 443,82 \approx 440$ ( limitando el número de cifras significativas (c.s.) a dos, puesto que, al intervenir en el cálculo multiplicaciones/divisiones, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de c.s. )

Entonces, como en (1) aparecen sumas ( 7 sumas/restas ) con los datos afectados de error, $\Delta_1=4\,\Delta_a+3\,\Delta_b=0,215\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,22$; por otra parte, como en la operación (2) aparece un producto ( con datos afectados de error -- el factor '5' es exacto -- ), tenemos que, según lo dicho arriba, $\varepsilon_2=0,02+0,0002=0,02002 \Rightarrow \Delta_2 = (5\cdot 2,6\cdot 34,14) =$
  $=440 \cdot 0,02002\overset{\text{por exceso}}{\approx} 8,8$ ( aproximando a 2 c.s.)


Así pues, la incertidumbre de los resultados de sendos cálculos ( con sus intervalos ) son:
$4\,a-3b \in (-92.02-0.22\,,\,-92.02+0.22)=(-92.24\,,\,-91.80)$, dicho de otro modo: $4\,a-3b=-92,02\,\pm 0.22$
y
$5\,a\,b =\in (440-8.8\,,\,440+8.8)=(431.2\,,\,448.8)$, dicho de otro modo: $5\,a\,b=440\,\pm 8,8$
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Justificación de la fórmula del volumen de un tetraedro

Número razonable de cifras significativas que se debe dar como resultado de un cálculo a partir de datos afectados de error

ENUNCIADO. Se han medido tres magnitudes, $a,b$ y $c$, obteniéndose:
  $a \approx \bar{a}=24,256$; con 4 cifras significativs (4 c.s.), 3 de las cuales son de la parte decimal ( 3 c.d.s.)
  $b\approx \bar{b}=1,38$; con 3 cifras significativs (3 c.s.), 2 de las cuales son de la parte decimal (2 c.d.s.)
  $c\approx \bar{b}=1001,1$; con 5 cifras significativs (5 c.s.) , 1 de las cuales es de la parte decimal ( 1 c.d.s.)

Opérese y exprésese el resultado con el número de cifras significativa que proceda:
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c}$

b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c}$

c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b}$

SOLUCIÓN.

Nota preliminar:

Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:

i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.

ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.

-oOo-
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 1023,976$; ahora bien, al haber sólo sumas y restas en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras decimales significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra decimal significativa ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden decimal de las décimas escribiremos $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} = 1024,0 \, \text{(1 c.d.s.)}$

b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 426\,812,1195$; ahora bien, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} = 427\,000 \, \text{(3 c.s.)}$

c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} \overset{\text{cálculo}}{=} 24\,281,3016$; y, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada -- si bien también hay una resta --, el factor limitante es el del número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} = 24\,300 \, \text{(3 c.s.)}$
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Intervalos en la recta numérica definidos con ayuda de la operación valor absoluto

ENUNCIADO. Describe en la recta numérica el conjunto de números reales $x$ que cumplen la siguiente condición $|x-2|\succ 3$ y expresa el resultado en la notación de paréntesis

SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\succ 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\succ 3\}\overset{(1)}{=}$
$\{x \in \mathbb{R}: -\infty \prec x \prec -1\} \cup \{x \in \mathbb{R}: 5 \prec x \prec +\infty\} =$
    $=(-\infty,-1) \cup (5,+\infty)$   ( unión de semirrectas )

Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\succ 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\succ 3 \Rightarrow x \succ 2+3 \Rightarrow x \succ 5 \\ \\ -(x-2)\succ 3 \Rightarrow -x\succ 3-2 \Rightarrow -x\succ 1 \Rightarrow x \prec -1\end{matrix}\right.$
$\square$

Sobre el uso de la operación/función valor absoluto para definir intervalos en la recta numérica

ENUNCIADO. Describe en la recta numérica el conjunto de números reales $x$ que cumplen la siguiente condición $|x-2|\prec 3$ y expresa el resultado en la notación de paréntesis

SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\prec 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\prec 3\}\overset{(1)}{=}\{x \in \mathbb{R}: -1 \prec x \prec 5\}=$
    $=(-1,5)\subset \mathbb{R}$   ( intervalo abierto de extremos $-1$ y $5$ )

Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\prec 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\prec 3 \Rightarrow x \prec 2+3 \Rightarrow x \prec 5 \\ \\ -(x-2)\prec 3 \Rightarrow -x\prec 3-2 \Rightarrow -x\prec -1 \Rightarrow x \succ -1\end{matrix}\right.$
$\square$