ENUNCIADO. Pablo y Marta salen un domingo por la tarde. Entre los dos tienen $24$ euros. Si Marta le diese $2$ euros a Pablo, éste tendría el doble de dinero que Marta. ¿ Qué cantidad de dinero tiene cada uno ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al dinero que inicialmente tiene Marta y por $y$ al dinero que inicialmente tiene Pablo. Entonces podemos escribir: $$x+y=24\quad \quad (1)$$ por otra parte la segunda frase del enunciado se transcribe así $$2\,(x-2) = y+2 \quad \quad (2)$$ Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x+y=24 \\ 2\,(x-2)=y+2 \end{matrix}\right.$$ Simplificando la segunda ecuación podemos escribirlo así $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 2\,x&-&y&=&6 \end{matrix}\right.\overset{e_1+e_2 \, \rightarrow \,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 3\,x&&&=&30 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $$x=10\,\text{euros}$$ y sustituyendo este valor en la primera, $$y=24-10=14\,\text{euros}$$ $\square$
jueves, 11 de enero de 2018
miércoles, 10 de enero de 2018
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.
$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $
$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $
$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$
Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$
SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.
$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $
$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $
$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$
Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$
Resolución de problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Lola ha comprado una colección de libros por $360$ euros, costando lo mismo cada uno de los libros que la forman. Su amiga Ana ha comprado otra colección distinta, que también le ha costado $360$ euros, con el mismo precio para cada uno de los libros. Sabemos que la colección de Ana tiene $2$ libros más que la de Lola, sin embargo el precio de cada libro de la colección de Lola es de $30$ euros menos que el precio de cada uno de los libros de la colección de Ana. ¿ Cuántos libros hay en la coleción de Ana ? ¿ Cuántos libros en la colección de Lola ? ¿ Cuál es el precio de cada uno de los libros de Lola ? ¿ Y el de los de Ana ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales sencillos
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
-oOo-
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
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