Fracciones continuas

    Todo número puede escribirse como una fracción continua. A todo número racional le corresponde una fracción continua finita, mientras que a todo número irracional le corresponde una fracción continua infinita.

EJEMPLO (fracción continua asociada a número decimal exacto) - ENUNCIADO. Escríbase el número racional $2,56$ (número decimal exacto) como una fracción continua, esto es, de la forma $\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square}}}}}$, donde los $\square$ representan números enteros no negativos.
SOLUCIÓN. $\displaystyle 2,56=2+0,56=2+\dfrac{46}{100}=2+\dfrac{14}{25}=2+\dfrac{1}{\dfrac{25}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{11}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{14}{11}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{11}}}=$

  $=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{11}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{2}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}}}$

COMENTARIO.
Es usual expresar una fracción continua finita $\alpha$ de la forma $[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n]$; donde el número $a_0$ representa la parte entera de $\alpha$ (el grupo de dígitos que constituyen el número entero a la izquierda de la coma decimal) y los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son los llamados cocientes incompletos — que van apareciendo en la descomposición iterativa de la cantidad remanente que está en los denominadores (como suma de un entero, que es el cociente incompleto, y una fracción impropia) y que ilustra el ejemplo —. En nuestro caso, podemos escribir $2,56=[2;1,1,3,1,2]$


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OBSERVACIÓN:
Notemos que un número racional con infinitos dígitos en la parte decimal (periódico puro o mixto), tal como, por ejemplo, $0,\hat{6}:=0,666\ldots$ tiene un número finito de cocientes incompletos, a pesar de tener infinitos dígitos en la parte decimal. En efecto, $\displaystyle 0,\hat{6}:==0+\dfrac{2}{3}=0+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=0+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}$, luego podemos escribir $0,\hat{6}:==\dfrac{2}{3}=[0;1,2]$. Otro ejemplo: $0,\hat{3}:=0,333\ldots=0+0,\hat{3}:==0+\dfrac{1}{3}$, luego la fracción propia asociada a $0,\hat{3}:=$ es $[0;3]$
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Referencias:
  [1] Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua