ENUNCIADO. Un excursionista desea realizar tres excursiones en un mes que consta de 30 días, a tres lugares A, B, y C. En el caso de que dichas excursiones quiera realizarlas en un cierto orden convenido; visitando, en días distintos, primero A, luego B, y finalmante, C. ¿De cuántas maneras puede elegir los tres días necesarios en ese mes para programar las tres excursiones?.
SOLUCIÓN. En el caso de que no tuviese que realizar las excursiones en un orden dado, por el principio del recuento multiplicativo, habría, en una primera aproximación, $30\cdot (30-1)\cdot (30-2)=30\cdot 29\cdot 28 =24\,360$ posibilidades. Para entender bien el cálculo, podemos acudir a la imagen constructiva de tres celdas en fila (una para cada excursión) que se van llenando de izquierda a derecha, con el número de días posibles a elegir para realizar cada una de ellas. Se trata, obviamente, de un caso de un cálculo de variaciones ordinarias [ya que tenemos en cuenta el orden en la ubicación (en cada una de las tres celdas) del día del mes elegido, y, evidentemente, elegido un día, ya no podemos volver a elegirlo, de treinta objetos tomados en subgrupos de tres (excursiones)], esto es $\displaystyle V_{30,3}=30\cdot 29\cdot 28=24\,360$. Ahora bien, como la restricción impuesta en el orden de realización (ABC) restringe el número que en un principio habíamos calculado. Así pues, debemos realizar la siguiente corrección: dividir el número de variaciones por el número de maneras de ordenar las tres celdas entres ellas, ya que cada una de ellas aparece repetida $3!=3\cdot 2 \cdot 1=6$ veces. Por tanto, el número pedido de maneras de programar las tres excursiones en ese mes (y en el orden indicado) es igual a $24\,360/6=4\,060$.
Nota 1:Podemos ver, si bien cuesta un poco, el resultado como la solución de un problema de combinaciones ordinarias, puesto que en las condiciones del enunciado, el tener que imponer el orden en la realización de las tres excursiones (primero A, después B; y, finalmente, C) se traduce en que no debamos considerar, sin más, el (primer) orden en la ubicación a la hora de elegir día para cada una de las tres celdas (una para cada excursión), esto es, el llenado (de las tres celdas) con el que hemos construido nuestra imagen en el proceso de reparto, sino que tenemos que corregirlo dividiendo dicho resultado con las permutaciones de los lugares. Así, la solución viene dada directamente por $\displaystyle \binom{30}{3}=\binom{30}{30-3}=\dfrac{30!}{3!\cdot 27!}=4\,060$.
Nota 2: Otro razonamiento constructivo que ayuda a aclararlo consiste en marcar con un símbolo (pongamos que con tres X) tres de las treinta celdas del calendario, y con otro símbolo distinto (pongamos que con /) las $30-3=27$ casillas restantes. Después de elegir las casillas en las que ponemos 'X' y las casillas en las que ponemos '/', tendremos la página del calendario marcado con tres 'X' idénticas y veintisiete '/' idénticas. Entonces, visto así, sabemos que el número de maneras de distribuir las tres 'X' y los veintisiete símbolos '/' en el total de treinta celdas de la hoja del calendario de dicho mes es igual a $\dfrac{30!}{27!\cdot 3!}$, que es lo mismo que escribir dicho cálculo de la forma $30\cdot 29\cdot 28$. Desde luego, entendemos que el orden de la realización de las tres excursiones, ABC, se corresponde con el orden de las tres 'X' que hemos dibujado en el calendario (de arriba abajo y de izquierda a derecha): la primera X corresponde a la excursión a A, la segunda a B, y la tercera a C. $\square$
Referencias:
[1] Hernández, V.; Vélez, R.: Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995
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