domingo, 29 de noviembre de 2020
domingo, 22 de noviembre de 2020
domingo, 15 de noviembre de 2020
lunes, 9 de noviembre de 2020
lunes, 2 de noviembre de 2020
A vueltas con los sitemas de ecuaciones
Ejercicio 26 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( de dos circunferencias ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-4x-2y=20 \\x^2+y^2-12x+2y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
-oOo-
Ejercicio 28 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( formado por una hipérbola y una circunferencia ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}xy=4 \\x^2+y^2=17\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Despejando $y$ de la primera ecuación, podemos escribir $y=\dfrac{4}{x}$, y sustituyendo está expresión ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación llegamos a $\left(\dfrac{4}{x}\right)^2+x^2=17$, esto es $\dfrac{16}{x^2}+x^2=17$; multiplicando ambos miembros por $x^2$, tenemos la siguiente ecuación equivalente: $16+x^4=17\,x^2$, esto es, $x^4-17\,x^2+16=0$, que es una ecuación bicuadrada, que transformaremos a una ecuación cuadrática haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^2$, así: $t^2-17\,t+16=0$, luego $t=\left\{\begin{matrix}1 \Rightarrow x=\pm 1\\ 16 \Rightarrow x=\pm 4\end{matrix}\right.$. Entonces,
Si $x=-1$, $y=\dfrac{4}{-1}=-4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-1,-4)$ forma parte de la solución
Si $x=1$, $y=\dfrac{4}{1}=4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(1,4)$ forma parte de la solución
Si $x=-4$, $y=\dfrac{4}{-4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-4,1)$ forma parte de la solución
Si $x=4$, $y=\dfrac{4}{4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(4,1)$ forma parte de la solución
En conclusión, la solución de la ecuación pedida es el siguiente conjunto de puntos del plano cartesiano $\{(-1,-4),(1,4),(-4,-1),(4,1)\}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 29 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema con ecuaciones exponenciales: $$\left\{\begin{matrix}2^x+3^y=7 \\2^x-3^y=1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
-oOo-
Ejercicio 32 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una chapa de forma rectancular tiene $28$ metros de perímetro. Si le cortamos $2$ metros de largo y otros $2$ metros de ancho, el área de la nueva chapa es de $24$ metros cuadrados. Halla las dimensiones de la chapa inicial.
SOLUCIÓN.
Denotemos por por $x$ al largo y por $y$ al ancho, entonces, a partir de la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones. $$\left\{\begin{matrix} 2\,(x+y)=28 \\ (x-2)(y-2)=24\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix} x+y=14 \\ xy-2x-2y=20\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la primera ecuación, $y=14-x$, y sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación llegamos a la siguiente ecuación cuadrática $x^2-14x+48=0$, que tiene como solución $x=\left\{\begin{matrix}6 \Rightarrow y=8\\ 8 \Rightarrow y=6\end{matrix}\right.$. En conclusión, las longitudes de los lados desiguales de la chapa original miden $8$ centímetros $6$ centímetros, respectivamente. $\square$
-oOo-
Ejercicio 36 de la página 101 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente la solución: $$\left\{\begin{matrix}y=0 \\y=x^2-4\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
La segunda ecuación es la de una parábola cuyo vértice es el punto $(0,-4)$ y, por otra parte, la primera ecuación es la del eje de abscisas. La solución del sistema de ecuaciones está formado por el par de puntos de intersección ( del eje con la parábola ), cuyas ordenadas son obviamente igual a cero; veamos cuáles son las abscisas ( puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas ): $0=x^2-4 \Leftrightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$. Así pues la solución del sistema de ecuaciones está formada por los puntos del plano cartesiando $\{(-2,0),(2,0)\}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 44 de la página 101 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{3}=2 \\ \\ \dfrac{x+y}{5} + \dfrac{x-y}{2}=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Multiplicando los dos miembros de la primera ecuación por $3x$ y los de la segunda ecuación por $10$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que, simplificado, no tendrá coeficientes fraccionarios y por tanto será más sencillo a la hora de resolverlo: $$\left\{\begin{matrix}3x\cdot \dfrac{2}{x}+3x\cdot \dfrac{y}{3}=3\cdot 2\,x \\ \\ 10\cdot \dfrac{x+y}{5} + 10 \cdot \dfrac{x-y}{2}=10 \cdot \dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}6+xy=6x \\ \\ 2x+2y+5x-5y=5 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}y=6\cdot \dfrac{x-1}{x} \\ \\ 7x-3y=5 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión de $y$ ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación, llegamos a: $7x-3\cdot 6x \cdot \dfrac{x-1}{x} = 5x$; multiplicando ambos miembros por $x$, sumando términos semejantes y ordenando los términos de grado mayor a menor, podemos escribir la siguiente ecuación cuadrática equivalente:
$7x^2-23x+18=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}9/7 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (9/7-1)}{9/7}=4/3\\ \\ 2 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (2-1)}{2}=3\end{matrix}\right.$. En conclusión, la solución está formada por los siguientes pares de valores: $\{(2,3),(9/7,4/3)\}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( de dos circunferencias ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-4x-2y=20 \\x^2+y^2-12x+2y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( formado por una hipérbola y una circunferencia ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}xy=4 \\x^2+y^2=17\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Despejando $y$ de la primera ecuación, podemos escribir $y=\dfrac{4}{x}$, y sustituyendo está expresión ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación llegamos a $\left(\dfrac{4}{x}\right)^2+x^2=17$, esto es $\dfrac{16}{x^2}+x^2=17$; multiplicando ambos miembros por $x^2$, tenemos la siguiente ecuación equivalente: $16+x^4=17\,x^2$, esto es, $x^4-17\,x^2+16=0$, que es una ecuación bicuadrada, que transformaremos a una ecuación cuadrática haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^2$, así: $t^2-17\,t+16=0$, luego $t=\left\{\begin{matrix}1 \Rightarrow x=\pm 1\\ 16 \Rightarrow x=\pm 4\end{matrix}\right.$. Entonces,
Si $x=-1$, $y=\dfrac{4}{-1}=-4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-1,-4)$ forma parte de la solución
Si $x=1$, $y=\dfrac{4}{1}=4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(1,4)$ forma parte de la solución
Si $x=-4$, $y=\dfrac{4}{-4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-4,1)$ forma parte de la solución
Si $x=4$, $y=\dfrac{4}{4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(4,1)$ forma parte de la solución
En conclusión, la solución de la ecuación pedida es el siguiente conjunto de puntos del plano cartesiano $\{(-1,-4),(1,4),(-4,-1),(4,1)\}$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema con ecuaciones exponenciales: $$\left\{\begin{matrix}2^x+3^y=7 \\2^x-3^y=1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO.
Una chapa de forma rectancular tiene $28$ metros de perímetro. Si le cortamos $2$ metros de largo y otros $2$ metros de ancho, el área de la nueva chapa es de $24$ metros cuadrados. Halla las dimensiones de la chapa inicial.
SOLUCIÓN.
Denotemos por por $x$ al largo y por $y$ al ancho, entonces, a partir de la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones. $$\left\{\begin{matrix} 2\,(x+y)=28 \\ (x-2)(y-2)=24\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix} x+y=14 \\ xy-2x-2y=20\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la primera ecuación, $y=14-x$, y sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación llegamos a la siguiente ecuación cuadrática $x^2-14x+48=0$, que tiene como solución $x=\left\{\begin{matrix}6 \Rightarrow y=8\\ 8 \Rightarrow y=6\end{matrix}\right.$. En conclusión, las longitudes de los lados desiguales de la chapa original miden $8$ centímetros $6$ centímetros, respectivamente. $\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente la solución: $$\left\{\begin{matrix}y=0 \\y=x^2-4\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
La segunda ecuación es la de una parábola cuyo vértice es el punto $(0,-4)$ y, por otra parte, la primera ecuación es la del eje de abscisas. La solución del sistema de ecuaciones está formado por el par de puntos de intersección ( del eje con la parábola ), cuyas ordenadas son obviamente igual a cero; veamos cuáles son las abscisas ( puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas ): $0=x^2-4 \Leftrightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$. Así pues la solución del sistema de ecuaciones está formada por los puntos del plano cartesiando $\{(-2,0),(2,0)\}$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{3}=2 \\ \\ \dfrac{x+y}{5} + \dfrac{x-y}{2}=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Multiplicando los dos miembros de la primera ecuación por $3x$ y los de la segunda ecuación por $10$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que, simplificado, no tendrá coeficientes fraccionarios y por tanto será más sencillo a la hora de resolverlo: $$\left\{\begin{matrix}3x\cdot \dfrac{2}{x}+3x\cdot \dfrac{y}{3}=3\cdot 2\,x \\ \\ 10\cdot \dfrac{x+y}{5} + 10 \cdot \dfrac{x-y}{2}=10 \cdot \dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}6+xy=6x \\ \\ 2x+2y+5x-5y=5 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}y=6\cdot \dfrac{x-1}{x} \\ \\ 7x-3y=5 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión de $y$ ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación, llegamos a: $7x-3\cdot 6x \cdot \dfrac{x-1}{x} = 5x$; multiplicando ambos miembros por $x$, sumando términos semejantes y ordenando los términos de grado mayor a menor, podemos escribir la siguiente ecuación cuadrática equivalente:
$7x^2-23x+18=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}9/7 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (9/7-1)}{9/7}=4/3\\ \\ 2 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (2-1)}{2}=3\end{matrix}\right.$. En conclusión, la solución está formada por los siguientes pares de valores: $\{(2,3),(9/7,4/3)\}$
$\square$
Diversos ejercicios de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales
Elige una de las dos opciones. Tendrás que enviar únicamente el trabajo de la opción que hayas elegido.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 54 de la página 102 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiene sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x^2-2y=0 \\y+y\,x^2=1\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 62 de la página 102 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La suma de dos números es $15$, y la diferencia de sus cuadrados también es $15$. Halla ambos números.
-oOo-
OPCIÓN 2.
Ejercicio 57 de la página 102 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiene sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}y=x^3-x \\2x-y=2\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 16 de la página 97 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide $10$ metros y que los catetos son proporcionales a $3$ y $4$.
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 54 de la página 102 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiene sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x^2-2y=0 \\y+y\,x^2=1\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
La suma de dos números es $15$, y la diferencia de sus cuadrados también es $15$. Halla ambos números.
OPCIÓN 2.
Ejercicio 57 de la página 102 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiene sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}y=x^3-x \\2x-y=2\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide $10$ metros y que los catetos son proporcionales a $3$ y $4$.
Ejercicios varios de sistemas de ecuaciones
Ejercicio 7 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente: $$\left\{\begin{matrix}2x-\dfrac{3x-y}{5}=\dfrac{22}{5}\\ \\ \dfrac{y}{3}+\dfrac{4x-3y}{4}=\dfrac{31}{12}\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 10 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema formado por las ecuaciones de dos circunferencias e interpreta el resultado: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=18 \\ x^2+y^2-4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 12 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}xy=3 \\ x^2+y^2-4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 13 de la página 97 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}3^x+5^y=28 \\ 8\cdot 3^x-5^y=-1\end{matrix}\right.$$
-oOo-
Ejercicio 15 de la página 97 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}\log\,(x-1)-\log\,(y+3)=0\\ 2\,\log\,x+\log\,(y+1)=4\,\log\,2\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
-oOo-
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente: $$\left\{\begin{matrix}2x-\dfrac{3x-y}{5}=\dfrac{22}{5}\\ \\ \dfrac{y}{3}+\dfrac{4x-3y}{4}=\dfrac{31}{12}\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema formado por las ecuaciones de dos circunferencias e interpreta el resultado: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=18 \\ x^2+y^2-4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}xy=3 \\ x^2+y^2-4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}3^x+5^y=28 \\ 8\cdot 3^x-5^y=-1\end{matrix}\right.$$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}\log\,(x-1)-\log\,(y+3)=0\\ 2\,\log\,x+\log\,(y+1)=4\,\log\,2\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
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