A vueltas con los sitemas de ecuaciones

Ejercicio 26 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( de dos circunferencias ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-4x-2y=20 \\x^2+y^2-12x+2y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.

-oOo- Ejercicio 28 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones ( formado por una hipérbola y una circunferencia ) e interpreta gráficamente el resultado: $$\left\{\begin{matrix}xy=4 \\x^2+y^2=17\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Despejando $y$ de la primera ecuación, podemos escribir $y=\dfrac{4}{x}$, y sustituyendo está expresión ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación llegamos a $\left(\dfrac{4}{x}\right)^2+x^2=17$, esto es $\dfrac{16}{x^2}+x^2=17$; multiplicando ambos miembros por $x^2$, tenemos la siguiente ecuación equivalente: $16+x^4=17\,x^2$, esto es, $x^4-17\,x^2+16=0$, que es una ecuación bicuadrada, que transformaremos a una ecuación cuadrática haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^2$, así: $t^2-17\,t+16=0$, luego $t=\left\{\begin{matrix}1 \Rightarrow x=\pm 1\\ 16 \Rightarrow x=\pm 4\end{matrix}\right.$. Entonces,
Si $x=-1$, $y=\dfrac{4}{-1}=-4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-1,-4)$ forma parte de la solución
Si $x=1$, $y=\dfrac{4}{1}=4$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(1,4)$ forma parte de la solución
Si $x=-4$, $y=\dfrac{4}{-4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(-4,1)$ forma parte de la solución
Si $x=4$, $y=\dfrac{4}{4}=1$, así que el punto del plano cuyas coordenadas son $(4,1)$ forma parte de la solución
En conclusión, la solución de la ecuación pedida es el siguiente conjunto de puntos del plano cartesiano $\{(-1,-4),(1,4),(-4,-1),(4,1)\}$
$\square$


-oOo- Ejercicio 29 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema con ecuaciones exponenciales: $$\left\{\begin{matrix}2^x+3^y=7 \\2^x-3^y=1\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.

-oOo- Ejercicio 32 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una chapa de forma rectancular tiene $28$ metros de perímetro. Si le cortamos $2$ metros de largo y otros $2$ metros de ancho, el área de la nueva chapa es de $24$ metros cuadrados. Halla las dimensiones de la chapa inicial.
SOLUCIÓN.
Denotemos por por $x$ al largo y por $y$ al ancho, entonces, a partir de la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones. $$\left\{\begin{matrix} 2\,(x+y)=28 \\ (x-2)(y-2)=24\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix} x+y=14 \\ xy-2x-2y=20\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la primera ecuación, $y=14-x$, y sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación llegamos a la siguiente ecuación cuadrática $x^2-14x+48=0$, que tiene como solución $x=\left\{\begin{matrix}6 \Rightarrow y=8\\ 8 \Rightarrow y=6\end{matrix}\right.$. En conclusión, las longitudes de los lados desiguales de la chapa original miden $8$ centímetros $6$ centímetros, respectivamente. $\square$


-oOo- Ejercicio 36 de la página 101 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema e interpreta gráficamente la solución: $$\left\{\begin{matrix}y=0 \\y=x^2-4\end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
La segunda ecuación es la de una parábola cuyo vértice es el punto $(0,-4)$ y, por otra parte, la primera ecuación es la del eje de abscisas. La solución del sistema de ecuaciones está formado por el par de puntos de intersección ( del eje con la parábola ), cuyas ordenadas son obviamente igual a cero; veamos cuáles son las abscisas ( puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas ): $0=x^2-4 \Leftrightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$. Así pues la solución del sistema de ecuaciones está formada por los puntos del plano cartesiando $\{(-2,0),(2,0)\}$
$\square$


-oOo- Ejercicio 44 de la página 101 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{y}{3}=2 \\ \\ \dfrac{x+y}{5} + \dfrac{x-y}{2}=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ SOLUCIÓN.
Multiplicando los dos miembros de la primera ecuación por $3x$ y los de la segunda ecuación por $10$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que, simplificado, no tendrá coeficientes fraccionarios y por tanto será más sencillo a la hora de resolverlo: $$\left\{\begin{matrix}3x\cdot \dfrac{2}{x}+3x\cdot \dfrac{y}{3}=3\cdot 2\,x \\ \\ 10\cdot \dfrac{x+y}{5} + 10 \cdot \dfrac{x-y}{2}=10 \cdot \dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}6+xy=6x \\ \\ 2x+2y+5x-5y=5 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}y=6\cdot \dfrac{x-1}{x} \\ \\ 7x-3y=5 \end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión de $y$ ( que depende de $x$ ) en la segunda ecuación, llegamos a: $7x-3\cdot 6x \cdot \dfrac{x-1}{x} = 5x$; multiplicando ambos miembros por $x$, sumando términos semejantes y ordenando los términos de grado mayor a menor, podemos escribir la siguiente ecuación cuadrática equivalente:
$7x^2-23x+18=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}9/7 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (9/7-1)}{9/7}=4/3\\ \\ 2 \Rightarrow y = \dfrac{6\cdot (2-1)}{2}=3\end{matrix}\right.$. En conclusión, la solución está formada por los siguientes pares de valores: $\{(2,3),(9/7,4/3)\}$
$\square$


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