Ejercicios con logaritmos

ENUNCIADO. Despéjese $k$ de la siguiente expresión $$\ln\,k=\dfrac{1}{3}\,\log\,x+2\,\ln\,y-\ln\,z$$

SOLUCIÓN.

Teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, podemos ir escribiendo lo que sigue:

$\ln\,k=\dfrac{1}{3}\,\log\,x+2\,\ln\,y-\ln\,z$
  $=\ln\,x^{1/3}+\ln\,y^2-\ln\,z$
    $=\ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$
Es decir, $$\ln\,k = \ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$$ luego $$k=\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}$$ que también podemos escribir así $$k=\dfrac{\sqrt[3]{x}\cdot y^2}{z}$$
$\square$

Un ejercicio con logaritmos

ENUNCIADO. Calcúlese el valor de $x$ tal que $\log_{x}\,32=-\dfrac{5}{2}$

SOLUCIÓN.
$\log_{x}\,32=-\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow 32= x^{-5/2} \Rightarrow x=32^{-\frac{2}{5}}=\left(2^5\right)^{-\frac{2}{5}}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
$\square$

Otro ejercicio con logaritmos

ENUNCIADO. Calcúlese el valor de $x$ tal que $\log_{3}\,x=-\dfrac{1}{2}$

SOLUCIÓN.
$\log_{3}\,x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x= 3^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\square$

Cálculo con logaritmos

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente logaritmo: $\log_{0,2}\,25$

SOLUCIÓN.
$\log_{0,2}\,25=$
  $=\log_{1/5}\,5^2$
    $=\log_{1/5}\,(1/5)^{-2}$
      $=-2\,\log_{1/5}\,\dfrac{1}{5}$
        $=-2\cdot 1$
          $=-2$
$\square$

Cálculo de logaritmos

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente logaritmo: $\log_{423}\,1$

SOLUCIÓN. $\log_{423}\,1=\log_{423}\,423^0=0\cdot \log_{423}\,423=0\cdot 1=0$

Cálculo con logaritmos

ENUNCIADO. Exprésese $\log\,\sqrt[3]{\dfrac{9}{5}}$ en función de estos otros: $\log\,3$ y $\log\,2$

SOLUCIÓN.
$\log\,\sqrt[3]{\dfrac{9}{5}}=$
  $=\dfrac{1}{3}\log\,\dfrac{9}{5}$
    $=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,5 \right)$
      $=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,\dfrac{10}{2} \right)$
        $=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-(\log\,10-\log\,2)\right)$
          $=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,3^2-(\log\,10-\log\,2)\right)$
            $=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(\log\,10-\log\,2)\right)$
              $=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(1-\log\,2)\right)$
                $=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-1+\log\,2)\right)$