Hallar la función tal que ...

ENUNCIADO. Considerar una función de proporcionalidad directa, $f(x)$, tal que la gráfica de la misma pasa por los puntos $A(-1,-1)$ y $B(2,5)$. Se pide:
a) Determinar la expresión ( algebraica ) de la función, $y=f(x)$
b) Calcular la imagen de $3$
c) Calcular la antiimagen de $-2$

SOLUCIÓN.
a)
Una función de proporcionalidad directa ( o lineal afín ) se escribe de la forma $f(x)=m\,x+k$, pues su gráfica es una recta; siendo $m$ la pendiente, y $k$ la ordenada en el origen de la misma. Para encontrar el valor de estos coeficientes, impondremos que los puntos $A(-1,-1)$ y $B(2,5)$ están en dicha recta, por lo cual deberán cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}(-1)\cdot m &+& k&=& -1\\2\cdot m &+& k&=& 5\end{matrix}\right.$$ que podemos resolver fácilmente sin más que sumar, miembro a miembro, sendas ecuaciones, obteniendo la ecuación equivalente $$3m=6$$ de la cual deducimos que $m=3$. Sustituyendo dicho valor en cualquier de las dos ecuaciones originales, encontramos el valor de $k$, que resulta ser $k=1$. Así, la ecuación pedida es $$f(x)=2x+1$$

b)
La imagen de $x=3$ es $f(3)=2 \cdot 3+1 = 7$

c)
Dado un punto de ordenada igual a $-2$, podemos escribir que $$-2=2x+1$$ luego, despejando $x$ obtenemos $$x=-\dfrac{3}{2}$$ Por tanto podemos afirmar que la antiimagen de $-2$ ( esto es, $f^{-1}(-2)$ ) es $-\dfrac{3}{2}$
$\square$