Exercici 1:
En un hospital s'ha subministrat diferents dosis d'un medicament antifebrigen a 10 pacients (amb febre alta) i s'ha mesurat el temps necessari per normalitzar la temperatura. Els resultats figuren a la taula de sota

Designant amb Y a la variable estadística temps, i amb X a la variable estadística dosi, us demanem:
a) La representació gràfica del núvol de punts \{P(x_i,y_i)\}
b) El valor de la covariància \sigma_{xy} entre X i Y
c) El valor de la variància \sigma_{x}^2 de la variable X
d) El valor de la mitjana aritmètica \bar{x} de la variable X
e) El valor de la mitjana aritmètica \bar{y} de la variable Y
f) El valor del coeficient de correlació lineal (o de Pearson) entre les variables X i Y
g) L'equació de la recta de regressió lineal de Y sobre X en forma explícita ( y=a+b\,x ), concretant els valors dels coeficients a i b, i explicant la relació que tenen aquests coeficients amb els paràmetres esmentats als apartats anteriors.
h) Representeu la recta de regressió lineal calculada a l'apartat anterior damunt del núvol de punts que heu dibuixat al primer apartat.
i) Per a una dosi de 25 \; \text(mg), quin temps estimat \hat{y} li correspon ? Interpreteu el resultat de forma crítica.
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Exercici 2:
La taula de sota mostra els valors d'una variable estadística contínua X, agrupats en intervals (classes):

Us demanem:
a) l'histograma de freqüències ( f enfront de X )
b) l'histograma de freqüències acumulades ( F enfront de X )
c) el valor del mode (o moda) M_{0}
d) el valor de la mediana M ( o segon quartil )
e) el valor del primer quartil Q_1
f) el valor del tercer quartil Q_3
g) el valor del rang
h) el valor del interquartílic
i) dibuixeu el diagrama de caixa i bigotis i comenteu què en podem concloure sobre la distribució dels valors de X (a nivell qualitativament)
j) el valor de la mitjana aritmàtica \bar{x}
k) el valor de la desviació estàndard \sigma
l) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que X \le 67
m) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que X \le 22
n) el tant per cent de valors (sobre el total) tals que 22 \le X \le 67
[Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]
Solucions de l'exercici 1:
d) \bar{x}=11
e) \bar{y}=77,6
b)
Tenint en compte que
\displaystyle \sigma_{xy}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,y_{i}\,f_{i} - \bar{x}\,\bar{y}
on N=10, n=10, f_i=1 ( i=1,\ldots\,10 )
sabent també (calculadora) que
\sum_{i=1}^{n}\,x_{i}\,y_{i}\,f_{i}=6466
i tenint en compte els resultats dels apartats d i e, trobem que
\sigma_{xy}=-207
Comentari: el valor negatiu de la covariància mostra el fet que si X creix/decreix, llavors Y decreix/creix
c)
De la calculadora (havent entrat les dades) trobem directament
el valor de \sigma_{x} \approx 5,74
i, per tant, elevant al quadrat (amb totes les xifres decimals en pantalla), trobem
\sigma_{x}^2 = 33
f)
El coeficient de correlació lineal (o de Pearson) es calcula fent
r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}\,\sigma_{y}}
no obstant, consultant les funcions estadístiques de la calculadora científica (havent entrat les dades), podem veure directament el seu valor
r \approx -0,9843
Observació: El valor negatiu de r és concordant amb el valor negatiu de \sigma_{xy}; el pendent de la recta de regressió ha de ser negatiu.
g)
Els coeficients de l'equació en forma explícita de la recta de regressió de Y sobre X
y=a+b\,x
es poden consultar directament a la calculadora (havent entrat les dades):
a \approx 146,6
b \approx -6,3
on
i) b=\dfrac{\sigma_{xy}{}}{\sigma_{x}^2}
ii) &nbps a=\bar{y}-b\,\bar{x}
Llavors, l'equació de la recta de regressió és
r:\,y=146,4-6,3\,x
h)
Per representar la recta de regressió, trobem les coordenades de dos punts de r; i, en particular, per comoditat i sentit pràctic, escollim els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades
A(0,147)
i
B(x_{0},0)
on x_0 designa l'arrel de la funció f(x)=146,6-6,3\,x
que és igual a
x_0 \approx 23,3
Observem, doncs, que el domini significatiu de la funció de regressió és l'interval
\left[0\,,\,23,3\right]
i)
És ben clar que 25 no pertany al domini de la funció: el valor de dosi x=25 queda a la dreta de x_0 [l'arrel de la recta de regressió (per a una dosi d'aquest valor, el temps necessari per restablir la temperatura és - teòricament - nul] i, per tant, no caldria subministrar més quantitat de medicament que 23,3 \, \text{mg}
Observació:
De fet, si calculem \hat{y} per a x=25 trobem - lògicament - un resultat absurd: un valor negatiu del temps de restabliment de la temperatura.
\square
Solucions de l'exercici 2:
a) [histograma]
b) [histograma]
c)
Consultant l'histograma de freqüències ( f enfront de X ), veiem que
40 < M_{0} < 60
és a dir
M_{0}=40+a
plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, calculem el valor de a
a=\dfrac{10}{3}
i, per tant, trobem que
M_{0}=40+\dfrac{10}{3}
quantitat que, aproximada, queda
M_{0} \approx 43
d)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( F enfront de X ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor F=250 \div 2 = 125 ]
40 < M <60
i, amb més precisió
M=40+b
Calculem el valor de b plantejant la proporció corresponent als costats
corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les
abscisses i ordenades, i trobem
b=\dfrac{15}{4}
Llavors
M=40+\dfrac{15}{4}
i, per tant,
M \approx 44
e)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( F enfront de X ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor F=250 \div 4 = 62,5 ]
20 < Q_{1} <40
i, amb més precisió
Q_{1}=40+c
Calculem el valor de c plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, i trobem
c=\dfrac{44,8}{7}
Llavors
Q_{1}=20+\dfrac{44}{8}
i, per tant,
Q_{1} \approx 26
f)
Consultant l'histograma de freqüències acumulades ( F enfront de X ), ens adonem que [ entrant a l'eix de les freqüències amb el valor F=125+250 \div 4 = 187,5 ]
40 < Q_{3} < 60
i, amb més precisió
Q_{3}=40+d
Calculem el valor de d plantejant la proporció corresponent als costats corresponents dels dos triangles semblants que es configuren amb els traços de les abscisses i ordenades, i trobem
d=\dfrac{77,5}{4}
Llavors
Q_{3}=40+\dfrac{44}{8}
i, per tant,
Q_{3} \approx 59
g)
\text{rang}=x_{màx}-x_{mín} i, per tant, és igual a 120
h)
\text{RIQ}=Q_{3}-Q_{1} i, per tant, és igual a 33
i) [ diagrama de caixa i bigotis ]
j)
Entrant les marques de classe \{10,30,50,70,90,110\} amb les respectives freqüencies
\{40,70,80,30,20,10\} podrem consultar els paràmetres estadístics amb les funcions estadístiques de la calculadora científica
\bar{x}=46
k)
consultant els paràmetres estadístics amb les funcions estadístiques de la calculadora científica
\sigma_{x} \approx 26
l)
consultant l'histograma de freqüències acumulades (atenció al poligon de freqüencies), entrant a l'eix horitzontal amb el valor de X=67, trobem que el nombre de valors inferiors a aquest valor és igual a (cal fer la proporció necessària, si cal) 201, que correspon a un 80 \, \text{\%}
m)
consultant l'histograma de freqüències acumulades (atenció al poligon de freqüencies), entrant a l'eix horitzontal amb el valor de X=22, trobem que el nombre de valors inferiors a aquest valor és igual a (cal fer la proporció necessària, si cal) 201, que correspon a un 22 \, \text{\%}
n)
Restant els valors obtinguts als apartats l i m, trobem que el nombre de valors de X que es troben entre X=22 i X=67 és igual a 58 \, \text{\%}
\square
[autoría]
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios