Fracciones continuas

    Todo número puede escribirse como una fracción continua. A todo número racional le corresponde una fracción continua finita, mientras que a todo número irracional le corresponde una fracción continua infinita.

EJEMPLO (fracción continua asociada a número decimal exacto) - ENUNCIADO. Escríbase el número racional $2,56$ (número decimal exacto) como una fracción continua, esto es, de la forma $\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square+\dfrac{1}{\square}}}}}$, donde los $\square$ representan números enteros no negativos.
SOLUCIÓN. $\displaystyle 2,56=2+0,56=2+\dfrac{46}{100}=2+\dfrac{14}{25}=2+\dfrac{1}{\dfrac{25}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{11}{14}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{14}{11}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{11}}}=$

  $=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{11}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{2}{3}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}}}}=2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}}}$

COMENTARIO.
Es usual expresar una fracción continua finita $\alpha$ de la forma $[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n]$; donde el número $a_0$ representa la parte entera de $\alpha$ (el grupo de dígitos que constituyen el número entero a la izquierda de la coma decimal) y los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son los llamados cocientes incompletos — que van apareciendo en la descomposición iterativa de la cantidad remanente que está en los denominadores (como suma de un entero, que es el cociente incompleto, y una fracción impropia) y que ilustra el ejemplo —. En nuestro caso, podemos escribir $2,56=[2;1,1,3,1,2]$


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OBSERVACIÓN:
Notemos que un número racional con infinitos dígitos en la parte decimal (periódico puro o mixto), tal como, por ejemplo, $0,\hat{6}:=0,666\ldots$ tiene un número finito de cocientes incompletos, a pesar de tener infinitos dígitos en la parte decimal. En efecto, $\displaystyle 0,\hat{6}:==0+\dfrac{2}{3}=0+\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=0+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}$, luego podemos escribir $0,\hat{6}:==\dfrac{2}{3}=[0;1,2]$. Otro ejemplo: $0,\hat{3}:=0,333\ldots=0+0,\hat{3}:==0+\dfrac{1}{3}$, luego la fracción propia asociada a $0,\hat{3}:=$ es $[0;3]$
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Referencias:
  [1] Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua

Un caso de combinaciones con repetición

En el artículo anterior hemos analizado un problema de variaciones, que, en particular, se ajusta concretamente a un esquema de permutaciones con repetición. Ahora vamos a ver un problema de combinaciones, cuya solución, en particular, se ajusta a un problema de combinaciones con repetición, llegando a su solución a partir del recurso consistente en realizar una representación equivalente en la que podamos utilizar la idea del cálculo de permutaciones con repetición.

ENUNCIADO. Tres personas se reúnen en la terraza de un bar. En dicho bar solamente sirven dos tipos de bebida: infusiones y cafés. Cada una de los tres personas pide una única bebida, una infusión o bien un café. ¿Cuántos pedidos pueden realizar?.

SOLUCIÓN. Podemos recurrir a representar las configuraciones o repartos utizando únicamente dos símbolos: el símbolo 'x' para designar la elección efectiva de una de las dos bebida por parte de cada una de las tres personas, y el símbolo '|' para separar los dos compartimentos separadores en la representación de las tres celdas dispuestas en hilera necesarias asociadas a cada tipo de bebida. Así, el problema se reduce a permutar $2-1$ símbolos '|' y $3$ símbolos 'x'. Por tanto, la solución (el número de repartos posibles) es $\displaystyle \dfrac{3+(2-1))!}{3!\cdot (2-1)!}=\dfrac{4!}{6\cdot 1}=4$.

Nota: Denominamos combinaciones con repetición (de $n$ objetos en $k$ clases) a este tipo de problemas de combinatoria, y escribimos $\displaystyle CR_{k,n}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{n+(k-1))!}{n!\cdot (k-1)!}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$. En este problema en concreto, $n:=3$ y $k:=2$.

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Como problema genérico/patrón, análogo al que acabamos de tratar, puede servirnos el siguiente: el de distribuir/ubicar $n$ bolas idénticas en $k$ urnas perfectamente identificables: la solución es $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$.
$\square$

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Referencias:
  [1] Hernández, V.; Vélez, R.: Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995

Lúnulas. Una de las relaciones que se cumple entre las áreas

Puntualizaciones y anotaciones a los contenidos expuestos y a las lectura del libro de texto base de la semana del 22 al 28 de marzo

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Interprentando la factura de un proveedor de electricidad

La imagen muestra un recibo típico de la factura de la luz. En él se desglosa el gasto de energía ( expresado en kWh ) del coste del servicio: tasa por contratación de la potencia deseada en la instalación, entre otros conceptos). Notad que el precio del kilowatio-hora es, en este ejemplo, muy elevado; a veces sucede, y, como es comprensible, siempre que ocurre eso hay mucha controversia al respecto.

[Haced clic sobre la imagen para verla en tamaño natural]

Veamos a continuación otro ejemplo idealizado ( por su sencillez ) en el que se remarca el desglose en el coste de los conceptos de los que hemos hablado. Eso sí, hemos hecho un supuesto de un gasto bastante más pequeño ( en kWh ) de lo que podéis leer en el ejemplo de factura que se muestra en la imagen de arriba.

ENUNCIADO 1.1
(1) El precio de la energía eléctrica en enero de 2021 llegó a ser de $0,136$ euros por cada kilovatio-hora ( kWh ) consumido. Además del gasto propiamente dicho, una cierto distribuidor de energía eléctrica - llamémosle A - cobró a cada cliente $20$ euros en conceptos varios (tasa de potencia y otros conceptos varios). Con estos datos, escríbase la función, $y=f(x$), que describe el coste ( para el consumidor ) en función de la cantidad de energía consumida, $x$ ( en kWh ). Si un cliente consumió una cantidad de energía de $800$ kWh, ¿ cuánto tuvo que pagar ?.

SOLUCIÓN
Como hay una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de energía y coste de la misma ( más el servicio debido a distribución, mantenimiento, y otros conceptos ) la función pedida es lineal de tipo lineal afín (1) $$f(x)=0,136x+20$$ La cantidad total a pagar, según los datos del enunciado, es $f(800)=0,136·800+20=128,80\,\text{euros}$

Observación 1: Ésta es una función lineal afín, y su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Si deseásemos comparar la oferta que nos hiciese otra compañía distribuidora, podríamos decidir a cambiar a la nueva distribuidora si, a partir de un gasto regular estimado, y al representar ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano, los puntos de la segunda recta quedasen por debajo de los de la primera ( con el mismo valor de la abscisa ) para valores de ésta mayores que las del punto de intersección de las dos rectas.

Observación 2: El precio del kWh varía, básicamente debido a los vaivenes de la oferta y la demanda. Por ejemplo, en días de viento la producción eléctrica por parte de los parques de aerogeneradores, los precios bajan. En el ejemplo de cálculo hemos supuesto un precio alto, pues, desgraciadamente, así están las cosas.


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Continuación ...
ENUNCIADO 1.2
(2) Otro distribuidor de energía eléctrica, B, vende cada kilovatio-hora ( kWh ) a $0,114$, y cobra 25 euros en conceptos varios ( tasa de potencia, etcétera ). A partir de qué cantidad de energía consumida le convendría a un cliente aceptar la oferta de B ( y rechazar la de A ) ?.

SOLUCIÓN
La función lineal afín que nos da el coste para el cliente es ahora $$g(x)=0,114x+25$$ Representando las funciones $f$ y $g$ en un mismo diagrama cartesiano - que hemos realizado con la ayuda de GeoGebra - permite entender mejor el significado d ela pregunta del enunciado ( ved la figura que sigue ).

Observamos que para consumos superiores a los $227,27\,\text{kWh}$, es más económica la oferta de B ( para el consumidor que la de A ); ahora bien, si el consumo es inferior a esa cantidad, es preferible seguir con el distribuidor A como proveedor.

Observación 3:
No es necesario representar la gráfica para calcular el consumo ( en kWh ) por encima del cual conviene aceptar la oferta de B: basta resolver el sistema de ecuaciones dado por $$\left\{\begin{matrix}y&=&0,136x&+&20\\ \\y&=& 0,114x&+&25\end{matrix}\right.$$ donde hemos denotado por $y$ los valores de salida ( costes ) de sendas funciones, obteniendo - fácilmente - la solución ( las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas ): $$\left\{\begin{matrix}x=227,27\,\text{kWh} \\ \\ y=50,91\,\text{euros}\end{matrix}\right.$$

Observación 4:
Según los datos del ENUNCIADO 1, al cliente le conviene contratar al distribuidor ( o proveedor ) B, pues el gasto de energía, $800\,\text{kWh}$, es mayor que la abscisa del punto de corte, $227,27\,\text{kWh}$. De esta forma, el coste sería de $g(800)=0,114·800+25=116,2\,\text{euros} \prec f(300)=128,80\,\text{euros}$ $\square$

¿Cuántas posibilidades hay para preparar tres excursiones en un mes?

ENUNCIADO. Un excursionista desea realizar tres excursiones en un mes que consta de 30 días, a tres lugares A, B, y C. En el caso de que dichas excursiones quiera realizarlas en un cierto orden convenido; visitando, en días distintos, primero A, luego B, y finalmante, C. ¿De cuántas maneras puede elegir los tres días necesarios en ese mes para programar las tres excursiones?.

SOLUCIÓN. En el caso de que no tuviese que realizar las excursiones en un orden dado, por el principio del recuento multiplicativo, habría, en una primera aproximación, $30\cdot (30-1)\cdot (30-2)=30\cdot 29\cdot 28 =24\,360$ posibilidades. Para entender bien el cálculo, podemos acudir a la imagen constructiva de tres celdas en fila (una para cada excursión) que se van llenando de izquierda a derecha, con el número de días posibles a elegir para realizar cada una de ellas. Se trata, obviamente, de un caso de un cálculo de variaciones ordinarias [ya que tenemos en cuenta el orden en la ubicación (en cada una de las tres celdas) del día del mes elegido, y, evidentemente, elegido un día, ya no podemos volver a elegirlo, de treinta objetos tomados en subgrupos de tres (excursiones)], esto es $\displaystyle V_{30,3}=30\cdot 29\cdot 28=24\,360$. Ahora bien, como la restricción impuesta en el orden de realización (ABC) restringe el número que en un principio habíamos calculado. Así pues, debemos realizar la siguiente corrección: dividir el número de variaciones por el número de maneras de ordenar las tres celdas entres ellas, ya que cada una de ellas aparece repetida $3!=3\cdot 2 \cdot 1=6$ veces. Por tanto, el número pedido de maneras de programar las tres excursiones en ese mes (y en el orden indicado) es igual a $24\,360/6=4\,060$.

***

Nota 1:Podemos ver, si bien cuesta un poco, el resultado como la solución de un problema de combinaciones ordinarias, puesto que en las condiciones del enunciado, el tener que imponer el orden en la realización de las tres excursiones (primero A, después B; y, finalmente, C) se traduce en que no debamos considerar, sin más, el (primer) orden en la ubicación a la hora de elegir día para cada una de las tres celdas (una para cada excursión), esto es, el llenado (de las tres celdas) con el que hemos construido nuestra imagen en el proceso de reparto, sino que tenemos que corregirlo dividiendo dicho resultado con las permutaciones de los lugares. Así, la solución viene dada directamente por $\displaystyle \binom{30}{3}=\binom{30}{30-3}=\dfrac{30!}{3!\cdot 27!}=4\,060$.

Nota 2: Otro razonamiento constructivo que ayuda a aclararlo consiste en marcar con un símbolo (pongamos que con tres X) tres de las treinta celdas del calendario, y con otro símbolo distinto (pongamos que con /) las $30-3=27$ casillas restantes. Después de elegir las casillas en las que ponemos 'X' y las casillas en las que ponemos '/', tendremos la página del calendario marcado con tres 'X' idénticas y veintisiete '/' idénticas. Entonces, visto así, sabemos que el número de maneras de distribuir las tres 'X' y los veintisiete símbolos '/' en el total de treinta celdas de la hoja del calendario de dicho mes es igual a $\dfrac{30!}{27!\cdot 3!}$, que es lo mismo que escribir dicho cálculo de la forma $30\cdot 29\cdot 28$. Desde luego, entendemos que el orden de la realización de las tres excursiones, ABC, se corresponde con el orden de las tres 'X' que hemos dibujado en el calendario (de arriba abajo y de izquierda a derecha): la primera X corresponde a la excursión a A, la segunda a B, y la tercera a C. $\square$

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Referencias:
  [1] Hernández, V.; Vélez, R.: Dados, monedas y urnas, UNED, Madrid, 1995

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