Rectas y triángulos ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Cálculo del número de rectas que se pueden trazar a partir de un determinado conjunto de puntos de modo que ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Suma de vectores. Regla del polígono vectorial ...

[nota del autor]

Combinacions amb repetició

Considerant un conjunt de n boles idéntiques, que volem distribuir entre $m$ urnes. Com que les boles son indistigibles, no es rellevant l'ordrem amb què es posen. Quàntes ordenaciones són posibles ?. Aquest problema es perfila com un problema de combinaciones amb repetició.

Als llibres de text trobem que el nombre d'agrupacions o ordenacions ve donat per la fórmula

$\binom{n+m-1}{m-1}=\binom{n+m-1}{n}$

Per demostrar aquesta fórmula, procedirem a pensar una situació anàloga que ens porti a veure d'una manera força clara la situació; farem la següent codificació:

Entendrem els m objectes com una mena de boles idéntiques que han d'anar ubicades en els n espais que queden entre n-1 barres separadores. Les ordenacions de boles i barres permeten intepretar el problema com un de permutacions amb elements repetits, per tant

$\frac{(m+(n-1))!}{(n-1)!\,m!}$

que identifiquem amb el valor del nombre combinatori

$\binom{m+(n-1)}{m}$

o, equivalentment,

$\binom{m+(n-1)}{n-1}$

Exemple:
¿ Perqué hi ha un total de $28$ xifres en el joc del dòmino ? Bé, com que es tracta de distribuir dues marques indistingibles ( meitat esquerra i meitat dreta, respectivament ), $n=2$ ) entre els $m=7$ elements del conjunt $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, assemblem aquest problema al de les combinacions amb repetició de $n=2$ "boles" indistingibles" ( marques ) a distribuir en $m=7$ llocs. Llavors, el número d'ordenacions possibles ( el nombre de fitxes ) es igual a $\binom{2+7-1}{2}=28$

$\square$

Resolución de un instrumento de medida ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resolució d'un instrument de mesura
El terme resolució es refereix a la capacitat que té l'aparell - prèviament calibrat - de poder discriminar entre una unitat i la següent.

En un instrument de mesura de lectura analògica, la resolució (o sensibilitat) correspon a una unitat menor de l'escala (considerant el nonius, si és el cas). Així, per exemple, en un metro de fuster, la resolució és d'un milímetre; en un peu de rei, és força més gran (nonius): 0,05 mm.


Observació: sobre el nombre de xifres significatives d'una quantitat decimal
La resolució, com les fites d'error, es dóna amb una sola xifra significativa; per exemple, és correcte parlar d'una resolució de 0,02 mm, però no d'una resolució de 0,023 mm, on hi ha dues xifres significatives (el "2" i el "3"). Recordem que una manera pràctica i ràpida de saber el nombre de xifres significatives d'una quantitat decimal és expressar-la en notació científica i comptar el nombre de xifres de la mantisa: aquest és el nombre de xifres significatives. Exemple: quantes xifres significatives té la quantitat 100,0056 ? Bé, expresse-ho en notació científica de de coma flotant -> 1,000056 x 10², trobem que la mantisa (1,000056) consta de 7 xifres, per tant, el nombre de xifres significatives de 100,0056 és set.

En un instrument digital, la resolució correspon a l'últim dígit de lectura. Si un termòmetre digital té una resolució de 0,1ºC, podrem fer lectures que donaran els graus i les dècimes de grau; per exemple: 21,7ºC. Si la resolució és de 0,5ºC , les lectures saltaran de mig grau en mig grau, la mateixa temperatura la llegirem així: 21,5ºC; cas de fer servir un termòmetre amb una resolució de 1ºC, les lectures aniran de grau a grau, i la mateixa temperatura la llegiríem així: 22ºC

Per valorar la precisió amb què podem fer una mesura amb un determinat instrument o aparell de mesura cal anar una mica més enllà del terme resolució. Convé parlar - permeteu-me el ris - amb més precisió de la precisió de la mesura. En el que segueix, suposarem sempre que l'instrument està calibrat i que funciona correctament. Tinguem també en compte que un instrument de mesura amb lectura digital no vol dir que sigui més precís que un instrument amb lectura analògica. Aquesta és una confusió molt freqüent. Per exemple, un rellotge analògic pot ser molt més precís - o no - que un rellotge amb pantalla digital. Espero que amb aquests comentaris introductoris hagi aclarit d'entrada alguns punts vagues quant a la noció de precisió.

2. Classe d'un instrument segons la seva precisió:
2.1. Consideracions sobre la fita d'error absolut que cal considerar quan fem una mesura amb un instrument de mesura determinat
En general, la fita d'error o màxim error absolut d'una mesura (d'ara endavant, faré abús de llenguatge i em referiré a la fita d'error absolut com a error absolut), operant en un determinat rang o escala de mesura, es pot saber mirant les especificiacions de l'instrument donades pel fabricant; aquesta dada s'anomena preció percentual absoluta o també classe de precisió de l'instrument.

Quan es dóna en tant per cent referit al fons d'escala o límit superior de la mesura, s'anomena també error reduït. La classe de precisió està normalitzada; i, així, podem tenir les següents classes de precisió: 0,1%; 0,2%; 0,5%; 1,0%; 1,5%; 2,5%; 4,0%.


[Observació
Quan per designar les classes de precissió es fa servir l'error relatiu, la classe de precisió s'indica dins d'un cercle.]


Exemples
És molt adequat posar exemples que facin referència a polímetres (multímetres) perquè en la mesura de les magnituds elèctrics sol ser habitual la necessitat de canviar d'escala. Si, per exemple, mesurem una tensió de 100 V, fent servir una escala o rang de mesura de 0 a 250 V, i la classe de precisió de l'instrument és del 2% (especificacions del fabricant de l'aparell), l'error absolut a tenir en compte per aquesta mesura és igual a 250.0,02 = 5 V, i, per tant, l'interval d'error tindrà com a extrems (100-5) V i (100+5) V. Si, sense canviar d'escala, mesurem ara una tensió de 50 V, l'error absolut a considerar per la imprecisió de la mesura no canvia; és el mateix mentre no canviem l'escala. Ara bé si, mesurem la mateixa tensió (100 V) en un fons d'escala igual a 500 V, l'error absolut a tenir en compte és, en aquest cas, el doble: 10 V. I, per tant, el marge d'incertesa o interval d'error serà (90, 110). D'això sol deduim ja que tindrem més impresició en la mesura amb una escala inapropiada.

2.2 Quant a l'error relatiu que cal considerar quan fem una mesura concreta amb un instrument de mesura d'una determinada classe de precisió
Recordem que l'error relatiu d'una mesura es defineix com la raó aritmètica entre l'error absolut de la mateixa i el valor nominal o de referència de la mateixa mesura. Operant en una mateixa escala, hem vist que l'error absolut a considerar és el mateix per qualsevol mesura que fem dins la mateixa escala, donada una determinada classe de precisió; ara bé, l'error relatiu, no és el mateix en qualsevol punt de l'escala. Suposem que mesurem una tensió de 10 V en un fons d'escala de 250 V. L'error absolut és de 10 V (recordem que el fabricant ens ha informat que la precisió percentual absoluta és del 2% (classe dos de precisió de l'instrument: (2/100)x250 = 5), per tant l'error relatiu de la mesura és igual a (5/10)x100 = 50 %, un error relaitu enorme (és a dir, una mesura molt imprecisa !). Què cal fer per obtenir una bona mesura ? Naturalment, canviar a una escala més apropiada: si canviem a una escala (fons d'escala) de 50 V, l'error absolut a considerar serà, ara, de 50x2/100 = 1 V; per tant, l'error relatiu de la nova mesura (tot i mesurar també els "deu volts") és de (1/10)x100 = 10 % ... força millor que la primera. La conclusió: fer servir sempre un fons d'escala adequat per fer mesures precises amb un mateix instrument amb diverses escales de mesura.

[nota del autor]

Precisión en los cálculos ...

Mètodes d'arrodoniment Mètode d'arrodoniment simètric Aquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètric Si no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $4,6784539 \approx 4,68$ $3,455 \approx 3,46$ $7,34456345 \approx 7,34$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. $5416433 \approx 5420000$ $5415000 \approx 5420000$ $5413126 \approx 5410000$ Mètode d'arrodoniment asimètric Un altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat: Cal augmentar l'última xifra conservada sempre que la següent sigui superior a '5'; o bé, si aquesta és igual a '5', i a la seva dreta no hi cap altra xifra, sempre que l'última xifra a mostrar ocupi un lloc senar. Cal deixar invariant l'última xifra a conservar i menysprear la resta de la part decimal si la primera xifra (d'aquesta part a menysprear) és inferior a '5'; o bé si, sent aquesta justament un '5' i no havent-hi a la seva dreta cap altra xifra, l'última xifra a mostrar ocupi un lloc parell. Exemples d'arrodoniment asimètric Únicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $6,126 \approx 6,13$ $6,105 \approx 6,10$ $6,14500001 \approx 6,14$ En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives: $9,0024 \approx 9,002$ $3,1266 \approx 3,127$ $7,1845 \approx 7,185$ $8,724500001 \approx 8,725$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives: $5416433 \approx 5420000$ $5425000 \approx 5430000$ $5425001 \approx 5430000$ $5413126 \approx 5410000$ Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodoniment Anomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples: Com a resultat d'arrodonir el nombre 45,654 a quatre xifres significatives, escriurem $45,65$, y trobem que l'error absolut es $\left| 45,654-45,65 \right| = 0,004 \prec 0,005 $; per tant prenderm com a fita d'error absoluto $\Delta = 0,005$, és a dir, $\Delta=5 \cdot 10^{-3} $, que como es pot veure es mitja unitad de l'ordre de l'última xifra del resultat de l'arrodoniment ( l'ordre de la xifra '5' es $10^{-2}$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}$. Es a dir, si l'aproximació del nombre $45,654$ es, per exemple $45,65\square$, volem dir que per garantir que les cuatre primeres xifres significatives siguin correctes/fiables s'ha de complir que $45,654 = 45,65\square \pm 0,0005$; es a dir, podem afirmar que $45,654 \in ( 45,65\square-0,0005\,,\,45,65\square+0,0005)=(45,648\,\,45,655)$, éssent la cinquena xifra, $\square$, dubtosa; així, per exemple, si $\square=7$, es evident que l'interval d'incertesa es ara $I=(45,652\,,\,45,662)$, i, per tant $45,65 \notin I$, amb la qual cosa '7' ha de ser un xifra no-correcta. Com a resultat d'arrodonir el nombre 567942 a dues xifres significatives escriurem: $570000$. Com que l'error asbsolut comès es $\left| 567942-570000 \right|= 2058 \prec 5000$, prenem com a fita d'error absolut $\Delta = 5\cdot 10^3$, que, com es pot veure es mitja unitat de l'ordre de l'última xifra ( l'ordre de la xifra '7' es $10^4$ ) de la quantitat aproximada: $\dfrac{1}{2} \cdot 10^4$ Expressió del resultat de les operacions d'un càlcul Quan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes: Si les operacions són sumes (o restes), el nombre de xifres significatives a la dreta de la coma decimal no pot ser més gran que el del sumand menys precís. Exemples: $78,5 + 1,24 = 79,74 \approx 79,7$ (el sumand menys precís és 78,5 ja que només té una x.s. a la dreta de la coma, per tant el resultat no ha de tenir més d'una xifra significativa a la dreta de la coma decimal) $57643 +2,6 = 57645,6 \approx 57646$ (el sumand menys precís és la quantitat entera, per tant el resultat no pot tenir decimals). Si les operacions són multiplicacions (o bé divisions), la precisió del resultat (el nombre de xifres significatives) no pot superar la del factor menys precís. Exemples: $ 78,5 · 1,24 = 97,34 \approx 79,3$ (1,24 té tres x.s. i 78,5 també en té tres) $764,894/2,6 = 294,19 \approx 290$ (ja que el factor menys precís és 2,6 (2 x.s.) i, doncs, el resultat no en pot tenir més de dues) ---- Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada.

[nota del autor]