Combinatoria. Un ejemplo sobre el vaciado de un depósito eligiendo diversas cañerías de desagüe

Un depósito de agua dispone de cinco cañerías de desagüe, cuyos caudales respectivos son $1,3,5,10$ y $20$ $\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$. Si abrimos al azar cuatro de dichos desagües, ¿en cuántos tiempos diferentes se puede vaciar el depósito?.

Hay $\binom{5}{4}=\binom{5}{5-4}=\binom{5}{1}=5$ maneras de elegir los cuatro desagües, con sus correspondientes caudales, que son, para cada una de estas $5$ elecciones:
    $\{1,3,5,10\} \rightarrow 1+3+5+10=19\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$
      $\{1,3,5,20\} \rightarrow 1+3+5+20=29\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$
        $\{3,5,10,20\} \rightarrow 3+5+10+20=38\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$
          $\{1,5,10,20\} \rightarrow 1+5+10+20=36\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$
            $\{1,3,10,20\} \rightarrow 1+3+10+20=34\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}$
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Combinatoria. Un ejemplo con bolas y urnas

¿De cuántas maneras podemos colocar $10$ bolas en $2$ urnas, de tal manera que $7$ de dichas bolas se pongan en una de las dos urnas y el resto de bolas en la otra urna?.

Hay $\binom{10}{7}$ maneras de elegir las $7$ bolas (de entre un total de $10$) que se van a colocar en una de las urnas; por otra parte, hay $\binom{10-7}{3}$ maneras de elegir el resto de las bolas que van a ser colocadas en la otra urna. Por el principio de independencia, se podrá hacer de $\binom{10}{7}\cdot \binom{10-7}{3}=120\cdot 1=120$ maneras. $\diamond$

Un caso sencillo de proporcionalidad aplicada al consumo de baterías eléctricas

Disponemos de una batería eléctrica de $12\,\text{V}$ cuya capacidad es $75\,\text{A·h}$, Con la que alimentamos un único dispositivo que requiere una tensión de entrada de $12\,\text{V}$ y cuya potencia es de $8\,\text{W}$, conectándolo a los bornes de la batería. En el supuesto (ideal) de que la intensidad eléctrica que proporciona la batería se mantenga constante hasta el momento en que se agote, ¿durante cuánto tiempo podremos tener funcionando el dispostivo?.

La intensidad eléctrica que requiere nuestro dispositivo es $I=\dfrac{P}{V}=\dfrac{8}{12}\,\text{A}=\dfrac{2}{3}\,\text{A}\approx 0,67\,\text{A}$, luego, mediante una sencilla proporción directa, deducimos que, en las condiciones ideales de las prestaciones de la batería que se han expresado en el enunciado, podremos mantenerlo en funcionamiento durante $$\displaystyle \dfrac{75\,\text{A·h}}{\dfrac{2}{3}\,\text{A}}=112,5\,\text{h}=4\,\text{días}\,\,\text{16}\,\text{h}\,\,30\,\text{min}$$

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Nota. $W$ indica vatios en el Sistema Internacional de medidas (S.I), y es la unidad de potencia o cantidad de energía puesta en juego por unidad de tiempo (que es el segundo, $s$, en el S.I.); $h$, indica horas; $V$, voltios y es la unidad de diferencia de potencial eléctrico o tensión eléctrica en el S.I.; $A$, amperios, y es la unidad de la intensidad de corriente en el S.I., y $A·h$, indica amperios-hora (cantidad de carga eléctrica almacenada en una batería).

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