Calcular de cuántas maneras es posible ...

ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Constituir una comisión de $4$ personas de entre un grupo de $15$ personals en total
b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas
c) Elaborar banderas de señales de $4$ franjas con $8$ telas de colores
d) Escribir "palabras" con las letras de PARALELEPÍPEDO
e) Construir números enteros positivos múltiplos de $5$, que sean mayores que $100$ y menores que $500$, con sus tres dígitos distintos.

SOLUCIÓN.
a) En este caso no importa el orden en el que tomamos las cuatro personas, y, por supuesto, no podemos repetir personas en la selección, luego se trata de un caso de combinaciones ordinarias, y el número de posibilidades es $C_{15,4}=\dfrac{V_{15,4}}{P_4}=\dfrac{15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=1365$

b) Como hay que tener en cuenta el orden de colocación, se trata de un caso de variaciones; y, además, es claro que no podemos repetir las personas, luego estamos ante un problema de variaciones ordinarias en el que el número de "objetos" ( las personas ) a seleccionar coincide con el tamaño de los grupos que tomamos, lo cual nos lleva ( en particular ) a un problema de permutaciones. El número de posibilidades es $V_{5,5}=P_5=5!=120$

c) Aquí importa también el orden en el tomamos los objetos ( que son los colores ), luego el problema es de variaciones; y como nada nos impide repetir los colores al distribuirlos en las franjas, estamos ante un problema de variaciones con repetición, y el número de posibilidades es $VR_{8,4}=8^4=4096$

e) En este caso importa el orden en el que colocamos las letras ( las "palabras" resultantes no tienen porque tener un significado ); sin embargo, algunas de las letras aparecen repetidas. Y como en cada palabra hay que emplear todas y cada una de ellas, estamos ante un problema de permutaciones con repetición, y el número de posibilidades es $PR_{14}^{3,2,1,2,3,1,1,1}=\dfrac{14!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}=605\,404\,800$

f)
Procedimiento 1.
Podemos elegir el dígito de las unidades de $2$ maneras, pues sólo puede ser '0' o bien '5' ( por tener que ser los números pedidos múltiplos de cinco ). Por otra parte, podemos elegir el dígito de las centenas entre el '1', el '2', el '3' y el '4' ( así nos aseguramos de que los números que se pueden formar son mayores que cien y menores o iguales que quinientos ), esto es, tenemos $4$ posibilidades para elegir el dígito de las unidades. Además, podremos elegir el dígito de las decenas entre las diez cifras '0', '1', ..., '9', luego tenemos $10$ posibilidades para ello. Aplicando ahora el principio multiplicativo, vemos que hay un total de $4 \cdot 10 \cdot 2 = 80$ números múltiplos de cinco que son mayores que cien y menores o iguales que quinientos. Ahora bien, como se nos pide que dichos números sean, además, menores que quinientos, deberemos restar de la cantidad encontrada el caso que corresponde a formar el número quinientos ( que entra en el cómputo anterior ), luego tendremos un total de $80-1=79$ números múltiplos de cinco, mayores que cien y menores que quinientos.

Procedimiento 2.
El menor múltiplo de $5$ en dicho conjunto es $105$, y el mayor $495$; entonces, como el conjunto de múltiplos están separados por la misma "distancia" ( espacios entre dos múltiplos consecutivos, que es $5$ ), el número de múltiplos pedidos ( mayores que $100$ y menores que $500$ ) es $ \dfrac{495-105}{5}+1=79$

$\square$