Tomando café hace un par de días, mientras tomaba el café de media mañana, pensé en el siguiente problema, que podemos encontrar en muchos libros de divulgación de las matemáticas, en diversas presentaciones, y que, en cierto modo, recuerda mucho a la solución a una de las paradojas de Zenón ( filosofía):
Imaginemos un caminante, que se mueve en línea recta, de tal manera que divide su caminata (a velocidad constante) en infinitos tramos de tiempo de la siguiente manera: al primer tramo de camina le dedica medio minuto; al segundo, un cuarto de minuto; al tercero, un octavo de minuto, y, así, sucesivamente. Cuánto tiempo tardará a realizar su caminata completa, ¿un tiempo infinito, como quizás es lo primero que nuestra intuición nos dicta? ¿O tal vez un tiempo finito?.
Si calculamos un poco, desvelaremos la solución, que, desde luego, nos va a sorprender.
En la sucesión de (infinitos) intervalos de tiempo, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\ldots$ podemos reconocer fácilmente los términos de una sucesión geométrica (s.g.), cuyo primer término es $a_1=\dfrac{1}{2}$, y de razón $r=\dfrac{1}{2}$. El término general es, por tanto, $a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, con $n=1,2,\ldots$. Es sabido que la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una s.g. viene dado por $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, esto es, en nuestro caso por, $S_n=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1/2)^n-1}{1/2-1}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (1)$. Entonces, el tiempo total de la caminata es la suma de los infinitos términos, y por tanto bastará pasar al límite la expresión (1) cuando el número de intervalos, $n$, tiende a infinito, que convergé, habida cuenta de que la razón de la s.g. es menor que $1$: $$\displaystyle \lim_{n\,\to\,\infty}\,\left(1-(1/2)^n\right)=\lim_{n\,\to\,\infty}\,1-(1/2)^{\infty}=1-0=1\,\text{min}$$ $\diamond$
[1] vv.aa., El hotel infinito de Hilbert,
[https://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert], Wikipedia.
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