De lluvias torrenciales, aljibes, tejados y canalones

Estaba el otro día pensando en aljibes —un aljibe es un depósito de agua tradicionalmente destinado a recoger el agua de la lluvia— y en el agua que puede recogerse desde el tejado de una casa de $20\,\text{m}^2$ de área, el cual tiene una única caída que forma un ángulo de $30^\circ$ con respecto al plano horizontal (del suelo) para, dirigiéndola a través del canalón, almacenarla en un aljibe. Me preguntaba por la cantidad de agua que se podría recoger que, forma torrencial, cayó hace pocos días, durante $90\,\text{min}$ —voy a suponer que la intensidad se mantuvo constante—, y que según los datos registrados tuvo una intensidad de $70$ milímetros por metro cuadrado.

Recordemos que la precipitación se mide en milímetros de agua, o litros caídos por unidad de área (metro cuadrado) durante $1$ hora; es decir, se expresa de esta manera la altura de la lámina de agua (recogida en una superficie plana) en milímetros (por metro cuadrado) en una hora. Obsérvese por tanto que $1$ milímetro de agua de lluvia precipitada por metro cuadrado equivale a $1$ litro de agua (por metro cuadrado). En efecto, basta considerar un cuadrado de $1$ metro cuadrado de área, como base de un cubo de $1$ metro de arista, teniendo por tanto dicho cubo imaginario un volumen de $1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3$; así, si el agua de la lluvia lo llenase por completo, recogeríamos $1\,000\,\text{L}$, de agua, ya que $1\,\text{L}$ (capacidad) equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen continente. Por consiguiente, al decir que ha caído $1\,\text{mm}$ de precipitación, nos referimos a una cantidad de lluvia de una milésima parte de $1\,000\,\text{L}$, esto es, por cada milímetro de grosor de la lámina de agua de lluvia se puede almacenar $1\,\text{L}$ de agua.

Así pues, según los datos de la precipación en cuestión, y teniendo en cuenta que $90\,\text{min}=1,5\,\text{h}$, y que por tanto cayeron $1,5\cdot 70\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}$. En ese tiempo, si el tejado no tubiese caída (si fuese horizontal), y como resultado no definitivo, es claro que se podrian almacenar $105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}\cdot 20\,\text{m}^2=2\,100\,\text{L}$.

Ahora bien, el tejado sí tiene inclinación, por lo que hay que corregir el resultado anterior, multiplicándolo convenientemente por una razón trigonométrica. Veamos cuál es esa razón trigonométrica que acabamos de mencionar y el porqué ésta corrige bien el resultado previo del párrafo anterior.

Es evidente que en el caso extremo de tener un tejado que formase un ángulo de $90^{\circ}$ con el suelo, la cantidad de agua recogida sería mínima —de hecho sería nula—, y si fuese horizontal, la cantidad de agua recogida sería máxima. Entre estos dos casos extremos nos encontramos con con todos los demás, de manera creciente, del mínimo al máximo; las cantidades de agua recogidas en estas situaciones intermedias las podemos modelizar multiplicando el máximo por el coseno del ángulo que forma el plano del tejado con el del suelo (horizontal), por tanto la cantidad de lluvia que recogeríamos teniendo en cuenta la inclinación de nuestro tejado es $2\,100 \cdot \cos\,30^\circ\approx 1\,819\,\text{L}$.

Reflexionando un poco sobre lo que acabamos de encontrar, podemos concluir que bien cabe hablar de un área efectiva al tener en consideración la inclinación del tejado, la cual representa el área de recogida con la que podemos contar a la hora de recoger el agua de la lluvia: $\text{Área}_{\text{efectiva}}:=\text{Área}_{\text{tejado}}\cdot \cos\, \alpha$ siendo $\alpha$ el ángulo que forma el plano del tejado con el plano base del suelo, que se supone horizontal. Así, la cantidad de agua recogida que se añade al aljibe, es igual a $P\cdot \Delta\,t \cdot \text{Área}_{\text{efectiva}}$, donde $P$ representa la intensidad de la precipitación, expresada en litros por metro cuadrado y por hora, o lo que es lo mismo, en milímetros de grosor de lámina de agua por metro cuadrado y por hora. $\diamond$

-oOo- Para saber más acerca de las lluvias:
  [1] AEMET, Resumen del registro de precipitaciones en España (6/10/2022)
      [https://www.aemet.es/es/serviciosclimaticos/vigilancia_clima/resumen_precipitaciones].

Cosas del infinito

Tomando café hace un par de días, mientras tomaba el café de media mañana, pensé en el siguiente problema, que podemos encontrar en muchos libros de divulgación de las matemáticas, en diversas presentaciones, y que, en cierto modo, recuerda mucho a la solución a una de las paradojas de Zenón ( filosofía):
  Imaginemos un caminante, que se mueve en línea recta, de tal manera que divide su caminata (a velocidad constante) en infinitos tramos de tiempo de la siguiente manera: al primer tramo de camina le dedica medio minuto; al segundo, un cuarto de minuto; al tercero, un octavo de minuto, y, así, sucesivamente. Cuánto tiempo tardará a realizar su caminata completa, ¿un tiempo infinito, como quizás es lo primero que nuestra intuición nos dicta? ¿O tal vez un tiempo finito?.
  Si calculamos un poco, desvelaremos la solución, que, desde luego, nos va a sorprender.

En la sucesión de (infinitos) intervalos de tiempo, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{8}$, $\ldots$ podemos reconocer fácilmente los términos de una sucesión geométrica (s.g.), cuyo primer término es $a_1=\dfrac{1}{2}$, y de razón $r=\dfrac{1}{2}$. El término general es, por tanto, $a_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, con $n=1,2,\ldots$. Es sabido que la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una s.g. viene dado por $S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$, esto es, en nuestro caso por, $S_n=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1/2)^n-1}{1/2-1}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (1)$. Entonces, el tiempo total de la caminata es la suma de los infinitos términos, y por tanto bastará pasar al límite la expresión (1) cuando el número de intervalos, $n$, tiende a infinito, que convergé, habida cuenta de que la razón de la s.g. es menor que $1$: $$\displaystyle \lim_{n\,\to\,\infty}\,\left(1-(1/2)^n\right)=\lim_{n\,\to\,\infty}\,1-(1/2)^{\infty}=1-0=1\,\text{min}$$ $\diamond$

-oOo- Lecturas sugeridas para ahondar en las sorpresas que nos puede ofrecer el pensar en la noción matemática de infinito:
  [1] vv.aa., El hotel infinito de Hilbert,
      [https://es.wikipedia.org/wiki/El_hotel_infinito_de_Hilbert], Wikipedia.