Relaciones notables entre las razones de algunos ángulos de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto con las de ángulos del primer cuadrante a partir de la semejanza de triángulos

Consideremos un ángulo $x$ del primer cuadrante.

Relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios:
$$\sin(\pi/2-x)=\cos(x)$$ $$\cos(\pi/2-x)=\sin(x)$$ $$\tan(\pi/2-x)=\cot(x)$$


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Si dibujamos las razones de dicho ángulo ( en la circunferencia trigonométrica ) así como las que resultan de transformar el triángulo rectángulo que se forma en los otros tres cuadrantes mediante reflexiones y giros nos encontramos con las siguientes relaciones.

Relaciones entre el primer cuadrante y el segundo cuadrante:
$$\sin(\pi/2+x)=\cos(x)$$ $$\cos(\pi/2+x)=-\sin(x)$$ $$\tan(\pi/2+x)=-\cot(x)$$

$$\sin(\pi-x)=\sin(x)$$ $$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$$ $$\tan(\pi-x)=-\tan(x)$$

Relaciones entre el primer cuadrante y el tercer cuadrante:
$$\sin(\pi+x)=-\sin(x)$$ $$\cos(\pi+x)=-\cos(x)$$ $$\tan(\pi+x)=\tan(x)$$

$$\sin\left(\dfrac{3}{2}\,\pi-x\right)=-\cos(x)$$ $$\cos\left(\dfrac{3}{2}\,\pi-x\right)=-\sin(x)$$ $$\tan\left(\dfrac{3}{2}\,\pi-x\right)=\cot(x)$$

Relaciones entre el primer cuadrante y el cuarto cuadrante:
$$\sin(2\,\pi-x)=-\sin(x)$$ $$\cos(2\,\pi-x)=\cos(x)$$ $$\tan(2\,\pi-x)=-\tan(x)$$

$$\sin\left(\dfrac{3}{2}\,\pi+x\right)=-\cos(x)$$ $$\cos\left(\dfrac{3}{2}\,\pi+x\right)=\sin(x)$$ $$\tan\left(\dfrac{3}{2}\,\pi+x\right)=-\cot(x)$$