Una ejercicio sobre la resolución de una cierta ecuación polinómica de cuarto grado

$(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)=80$
  $((x+5)(x+2))((x+4)(x+3))=80$
    $(x^2+7x+14)(x^2+7x+12)=80$
      $(x^2+7x+13+1)(x^2+7x+13-1)=80$
        $((x^2+7x+13)+1)((x^2+7x+13)-1)=80$
          $(u+1)(u-1)=80 \because u:=x^2+7x+13$
            $u^2-1^2=80$
              $u^2-1=80$
                $u^2=80+1$
                  $u^2=81$
                    $u=\pm\sqrt{81}$
                      $u=\pm 9 \therefore x^2+7x+13=\left\{\begin{matrix}-9 & (i)\\9 & (ii)\end{matrix}\right. $
Entonces,
  $(i)$ $x^2+7x+13=-9$
    $x^2+7x+22=0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 22 \lt 0$
  $(ii)$ $x^2+7x+13=9$
    $x^2+7x+4=0$ sí tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 4 = 33 \gt 0$ con lo cual, encontraremos dos valores reales distintos en la solución:
      $x=\dfrac{-7\pm \sqrt{33}}{2\cdot 1}$, esto es, la solución de la ecuación polinómica de cuarto grado propuesta consta sólo dos valores reales: $\left\{\begin{matrix}x_1=\dfrac{-7 + \sqrt{33}}{2}\lt 0 \\ x_2= \dfrac{-7 - \sqrt{33}}{2}\lt 0\end{matrix}\right.$
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